Un polígono simple que tiene tres lados y tres vértices se llama triángulo. El punto de intersección de las tres alturas de un triángulo se denomina «ortocentro de un triángulo» y generalmente se representa con la letra «H». Una altura de un triángulo es un segmento de línea dibujado desde cada vértice hacia el lado opuesto que es perpendicular a su lado opuesto. Como un triángulo tiene tres vértices y tres lados, tiene tres alturas, y el punto de intersección de estos tres lados se llama ortocentro.
Para cada triángulo, la posición del ortocentro varía; es decir; para un triángulo equilátero, el ortocentro, el circuncentro, el incentro y el baricentro son los mismos, pero en el caso de los otros triángulos, la posición será diferente.
- En el caso de un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo.
- En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
- En el caso de un triángulo rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.
Determinar el ortocentro de un triángulo
Consideremos un triángulo ABC para determinar el ortocentro de un triángulo. AD, BE y CF son las perpendiculares trazadas desde los vértices A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) y C (x 3 , y 3 ) a sus respectivos lados opuestos BC, AC y AB y “H” es el punto de su intersección.
Paso 1: Calcula las pendientes de los lados del triángulo ABC usando la fórmula de la pendiente;
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
Sea la pendiente de AB m AB .
m AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
Sea la pendiente de la BC m BC
Entonces, m BC = (y 3 – y 2 )/(x 3 – x 2 )
Paso 2: Usando las pendientes de los lados de un triángulo, encuentra las pendientes de las altitudes.
Sabemos que la altura es perpendicular al lado.
Producto de pendientes de dos líneas de pendientes perpendiculares = m 1 × m 2 = -1
Entonces, la pendiente de la altura = -1/pendiente del lado = -1/m
Ahora, las pendientes de las respectivas altitudes CF y AD son,
m CF = -1/m AB
m AD = -1/m BC
Paso 4: Con la ayuda de la ecuación en forma de punto-pendiente, encuentra las ecuaciones de las altitudes usando las pendientes y las coordenadas de los vértices opuestos.
La ecuación de CF es (y – y 3 ) = m CF (x – x 3 )
La ecuación de AD es (y – y 1 ) = m AD (x – x 1 )
Paso 4: Resuelve las ecuaciones de dos altitudes cualesquiera y los valores de x e y obtenidos al resolver ambas ecuaciones son las coordenadas del ortocentro del triángulo.
Problemas de muestra
Problema 1: Determina las coordenadas del ortocentro de un triángulo cuyos vértices son A (3, 1), B (-5, 2) y C (0, 4).
Solución:
Dado,
Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (3,1), B (x 2 , y 2 ) = (-5,2) y C (x 3 , y 3 ) = (0,4 )
Ahora, la pendiente del lado AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
⇒ m AB = (2 – 1)/(-5 -3) = -(1/8)
La pendiente de la línea perpendicular a AB, es decir, pendiente de CF = -(1/pendiente de AB) = 8
Entonces, la ecuación de la recta CF con el punto C (0,4) y pendiente = 8 es y – y 3 = m(x – x 3 ) [forma punto-pendiente]
⇒ y – 4 = 8 (x – 0)
⇒ y – 4 = 8x
⇒ 8x – y = -4 ⇢ (1)
Pendiente del lado BC = (y 3 – y 2 )/(x 3 – x 2 )
⇒ m BC = (4 – 2)/(0 – (-5)) = 2/5
Ahora, la pendiente de la recta perpendicular a BC, es decir, la pendiente de AD = -(1/pendiente de BC) = -(5/2)
Entonces, la ecuación de la recta AD con el punto A (3,1) y pendiente = -(5/2) es y – y 1 = m(x – x 1 ) [forma punto pendiente]
⇒ y – 1 = -(5/2) (x – 3)
⇒ 2(y – 1) = -5(x – 3)
⇒ 2y – 2 = -5x + 15
⇒ 5x + 2y = 17 ⇢ (2)
Ahora, multiplica la ecuación (1) por “2” en ambos lados y suma ambas ecuaciones (1) y (2).
16x – 2y = -8
5x + 2y = 17
21x = 9 ⇒x = 3/7
Ahora, sustituya el valor de x = 3/7 en la ecuación (1)
⇒ 8(3/7) – y = -4
⇒ y = 24/7 + 4 = 52/7
Por tanto, las coordenadas del ortocentro (H) son (3/7, 52/7).
Problema 2: Determina las coordenadas del ortocentro de un triángulo cuyos vértices son A (5, -3), B (7, 0) y C (4, 9).
Solución:
Dado,
Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (5, -3), B (x 2 , y 2 ) = (7, 0) y C (x 3, y 3 ) = (4, 9 ).
Ahora, la pendiente del lado AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
⇒ m AB = (0 – (-3))/(7 – 5) = 3/2
La pendiente de la línea perpendicular a AB, es decir, pendiente de CF = -(1/pendiente de AB) = -(2/3)
Entonces, la ecuación de la recta CF con el punto C (4, 9) y pendiente = -(2/3) es y – y 3 = m(x – x 3 ) [forma punto-pendiente]
⇒ y – 9 = -(2/3) (x – 4)
⇒ 3(y – 9) = -2(x – 4)
⇒ 3y – 27 = -2x + 8
⇒ 2x + 3y = 35 ⇢ (1)
Pendiente del lado BC = (y 3 – y 2 )/(x 3 – x 2 )
⇒ m BC = (9 – 0)/(4 – 7) = -(9/3) = -3
Ahora, la pendiente de la línea perpendicular a BC, es decir, la pendiente de AD = -(1/pendiente de BC) = 1/3
Entonces, la ecuación de la recta AD con el punto A (5, -3) y pendiente = 1/3 es y – y 1 = m(x – x 1 ) [forma punto pendiente]
⇒ y – (-3) = (1/3) (x – 5)
⇒ 3(y + 3) = x – 5
⇒ 3y + 9 = x – 5
⇒ x – 3y = 14 ⇢ (2)
Ahora, suma las ecuaciones (1) y (2)
2x + 3y = 35
x-3y = 14
3x = 49 ⇒x =49/3
Ahora, sustituya el valor de x = 49/3 en la ecuación (2)
⇒ 49/3 – 3 años = 14 ⇒ 3 años = -1
⇒ y =7/9
Por tanto, las coordenadas del ortocentro (H) son (49/3, 7/9).
Problema 3: Encuentra el ortocentro de un triángulo cuyos vértices son A (2, -7), B (6, 3) y C (-8, 0).
Solución:
Dado,
Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (5, -3), B (x 2 , y 2 ) = (7, 0) y C (x 3 , y 3 ) = (4, 9 )
Ahora, la pendiente del lado AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
⇒ m AB = (3 – (-7))/(6 – 2) = 10/4 = 5/2
La pendiente de la línea perpendicular a AB, es decir, pendiente de CF = -(1/pendiente de AB) = -(2/5)
Entonces, la ecuación de la recta CF con el punto C (-8, 0) y pendiente = -(2/5) es y – y 3 = m(x – x 3 ) [forma punto-pendiente]
⇒ y – 0 = -(2/5) (x – (-8))
⇒ 5y = -2(x + 8)
⇒ 5y = -2x -16
⇒ 2x + 5y = -16 ⇢ (1)
Pendiente del lado AC = (y 3 – y 1 )/(x 3 – x 1 )
⇒ mCA = (0 – (-7))/(-8 – 2) = -(7/10)
Ahora, la pendiente de la recta perpendicular a AC, es decir, la pendiente de BE = -(1/pendiente de AC) = 10/7
Entonces, la ecuación de la línea BE con el punto B (6, 3) y pendiente = 10/7 es y – y 2 = m(x – x 2 ) [forma punto pendiente]
⇒ y – 3 = (10/7) (x – 6)
⇒ 7(y – 3) = 10(x – 6)
⇒ 7y – 21 = 10x – 60
⇒ 10x – 7y = 39 ⇢ (2)
Multiplique la ecuación (1) con «5» en ambos lados y reste ambas ecuaciones.
10x + 25y = -80
10x – 7y = 39
(-) (+) (-)
——————
32y = -119 ⇒ y = – 119/32
Ahora, sustituya el valor de y = -119/32 en la ecuación (1)
2x + 5(-119/32) = -16
⇒ 2x – 595/32 = -16 ⇒ 2x = 595/32 – 16
⇒ 2x = 83/32 ⇒ x = 83/64
Por tanto, las coordenadas del ortocentro (H) son (83/64, -119/32).
Problema 4: Encuentra el ortocentro de un triángulo cuyos vértices son A (6, 2), B (1, 1) y C (-4, 7).
Dado,
Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (6, 2), B (x 2 , y 2 ) = (1, 1) y C (x 3 , y 3 ) = (-4, 7 ).
Ahora, la pendiente del lado AC = (y 3 – y 1 )/(x 3 – x 1 )
⇒ m CA = (7 – 2)/(-4 – 6) = -(5/10) = -1/2
La pendiente de la línea perpendicular a AC, es decir, pendiente de BE = -(1/pendiente de AC) = 2
Entonces, la ecuación de la recta BE con el punto B (1,1) y pendiente = 2 es y – y 2 = m(x – x 2 ) [forma punto-pendiente]
⇒ y – 1 = 2(x – 1)
⇒ y – 1 = 2x – 2
⇒ 2x – y = 1 ⇢ (1)
Pendiente del lado BC = (y 3 – y 2 )/(x 3 – x 2 )
⇒ m BC =(7 – 1)/(-4 – 1) = -(6/5)
Ahora, la pendiente de la línea perpendicular a BC, es decir, la pendiente de AD = -(1/pendiente de BC) = 5/6
Entonces, la ecuación de la recta BE con el punto A (6, 2) y pendiente = 10/7 es y – y 1 = m(x – x 1 ) [forma punto pendiente]
⇒ y – 2 = (5/6) (x – 6)
⇒ 6(y – 2) = 5(x – 6)
⇒ 6y – 12 = 5x – 30
⇒ 5x – 6y = 18 ⇢ (2)
Ahora, multiplique la ecuación (1) con «6» en ambos lados y reste ambas ecuaciones.
12x – 6y = 6
5x – 6y = 18
(-) (+) (-)
——————
7x = -12 ⇒x = -12/7
Ahora, sustituya el valor de x = -12/7 en la ecuación (1)
2(-12/7) – y = 1
⇒ y = -24/7 – 1 ⇒ y = -31/7
Por tanto, las coordenadas del ortocentro (H) son (-12/7, -31/7).
Problema 5: Determinar las coordenadas del ortocentro de un triángulo cuyos vértices son A (0,-5), B (3,-2) y C (-6, 0).
Dado,
Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (3,1), B (x 2 , y 2 ) = (-5,2) y C (x 3 , y 3 ) = (0,4 )
Pendiente del lado BC = (y 3 – y 2 )/(x 3 – x 2 )
⇒ m BC =(0 – (-2))/(-6 – 3) = -(2/9)
Ahora, la pendiente de la recta perpendicular a BC, es decir, la pendiente de AD = -(1/pendiente de BC) = (9/2)
Entonces, la ecuación de la recta AD con el punto A (3,1) y pendiente = (9/2) es y – y 1 = m(x – x 1 ) [forma punto pendiente]
⇒ y – (-5) = (9/2) (x – 0)
⇒ 2(y + 5) = 9x
⇒ 2y + 10 = 9x
⇒ 9x – 2y = 10 ⇢ (1)
Ahora, la pendiente del lado AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
⇒ m AB = (-2 – (-5))/(3 – 0) = 3/3 = 1
La pendiente de la línea perpendicular a AB, es decir, pendiente de CF = -(1/pendiente de AB) = -1
Entonces, la ecuación de la recta CF con el punto C (-6, 0) y pendiente = -1 es y – y 3 = m(x – x 3 ) [forma punto-pendiente]
⇒ y – 0 = (-1)(x – (-6))
⇒ y = -(x + 6)
⇒ y = -x – 6
⇒ x + y = -6 ⇢ (2)
Ahora, multiplique la ecuación (2) con «2» en ambos lados y sume ambas ecuaciones.
9x – 2y = 10
2x + 2y = -12
11x = -2 ⇒x = -2/11
Ahora, sustituya el valor de x = -2/11 en la ecuación (2)
⇒ -2/11 + y = -6
⇒ y = -6 + 2/11 ⇒ y = -64/11
Ahora, resolviendo las ecuaciones de las rectas AD y CF obtenemos que las coordenadas del ortocentro (H) son (-2/11, -64/11).
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA