¿Cómo encontrar la ecuación de una elipse dado el centro y dos puntos?

Una sección cónica se puede definir como el conjunto de puntos que describen la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo de intersección entre el plano y el cono determina la forma de la sección cónica. Cuando este ángulo es agudo, es decir, entre 45° y 90°.

Alternativamente, una elipse también se puede definir como tal: una curva cerrada formada por un conjunto de puntos cuya suma de la distancia a dos puntos fijos es constante.

La ecuación estándar de la elipse cuyo centro es (h, k) es,

$\dfrac{(xh)^2}{a^2} + \dfrac{(yk)^2}{b^2} = 1$

Pregunta: Determine la ecuación de la forma estándar de la elipse dada: Las coordenadas de dos puntos P (p, q) y M (m, n), y las coordenadas del centro, O (h, k).

Solución:

Se sabe que la ecuación estándar de la elipse es,

$\dfrac{(xh)^2}{a^2} + \dfrac{(yk)^2}{b^2} = 1$

Se nos ha proporcionado el valor de (h, k) en la pregunta. Tanto P(p, q) como M(m, n) satisfarán la ecuación.

Entonces, ahora tenemos dos ecuaciones:

Ecuación 1: $\dfrac{(ph)^2}{a^2} + \dfrac{(qk)^2}{b^2} = 1$

Ecuación 2: $\dfrac{(xh)^2}{a^2} + \dfrac{(yk)^2}{b^2} = 1$

Podemos igualar tanto la LHS de las ecuaciones (ya que la RHS es igual). Entonces, obtenemos:

$\dfrac{(p-h)^2}{a^2} + \dfrac{(q-k)^2}{b^2} = \dfrac{(m-h)^2}{a^2} + \dfrac{(n-k)^2}{b^2}$

Podemos simplificar esto como:

$\dfrac{(p-h)^2 -(m-h)^2}{a^2} = \dfrac{(n-k)^2 - (q-k)^2}{b^2}$

Usando la fórmula a ² – b ² = (a – b)×(a + b), podemos simplificar aún más la ecuación:

$\dfrac {(p - m)\times(p + m - 2h)}{a ^ 2} = \dfrac {(n - q)\times(n +q- 2k)}{b^ 2}$

De esto, podemos obtener la relación entre a y b como:

$a = b \times \sqrt \dfrac {(p - m)\times(p + m - 2h)}{(n - q)\times(n +q- 2k)}$

Ahora, podemos reemplazar este valor en la Ecuación 1 o la Ecuación 2 para resolverlo finalmente.

Sustituyémoslo en la ecuación 1:

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

$\dfrac{(p-h)^2}{ b^2 \times\dfrac {(p - m)×(p + m - 2h)}{(n - q)×(n +q- 2k)} } + \dfrac{(q-k)^2}{b^2} = 1$

Finalmente, podemos deducir que b es:

$b = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 \times (n - q)\times(n +q- 2k)}{(p - m)\times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 }$

Y por lo tanto, a es:

$a = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 (n - q)(n +q- 2k)}{(p - m)(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } \times \sqrt \dfrac {(p - m)(p + m - 2h)}{(n - q)(n +q- 2k)}$

Dados dos puntos P (p, q) y M (m, n) de una elipse con centro (h, k), la ecuación de la elipse en forma estándar es:

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

dónde,

$a = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 \times (n - q)\times(n +q- 2k)}{(p - m)\times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } \times \sqrt \dfrac {(p - m)\times(p + m - 2h)}{(n - q)\times(n +q- 2k)}$

y

$b = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 \times (n - q)\times(n +q- 2k)}{(p - m)\times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 }$

Problemas de muestra

Problema 1: Dado que el centro de una elipse es (5, 2) y los puntos A (3, 4) y B (5, 6) pasan por la elipse, formar la ecuación estándar de la elipse.

Solución:

Dado que el centro de la elipse es (h, k) = (5, 2) y (p, q) = (3, 4) y (m, n) = (5, 6) son dos puntos de la elipse.

Podemos usar los valores de a y b de la fórmula anterior para crear la ecuación estándar como:

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Lo sabemos,

$a = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 \times (n - q)\times(n +q- 2k)}{(p - m)\times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } \times \sqrt \dfrac {(p - m)\times(p + m - 2h)}{(n - q)\times(n +q- 2k)}$

Sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n obtenemos:

$\sqrt {\dfrac{(3-5)^2 \times (6 - 4)\times(6 +4- 22)}{(3 - 5)×(3 + 5 - 25)} + (4-2)^2 } \times \sqrt \dfrac {(3 - 5)\times(3 + 5 - 25)}{(6 - 4)×(6 +4- 22)}$

Resolviendo, obtenemos un ≈ 2.31.

De manera similar, sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n en la fórmula para b, obtenemos:

$\sqrt {\dfrac {(3-5)^2 \times (6 - 4)\times(6 +4- 22)}{(3 - 5)\times(3 + 5 - 25)} + (4-2)^2 }$

Resolviendo, obtenemos b = 4.

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es:

$\dfrac{(x-5)^2}{5.33} + \dfrac{(y-2)^2}{16} = 1$

Problema 2: Una elipse hipotética tiene su centro en (5, 8). Los puntos A (9, 2) y B (7, 6) pasan por la elipse. ¿Es posible que tal elipse exista en el plano real? Explica tu respuesta.

Solución:

Nuestra hipótesis es que la elipse existe.

Dado que el centro de la elipse es (h, k) = (5, 8) y (p, q) = (9, 2) y (m, n) = (7, 6) son dos puntos de la elipse, tenemos puede usar los valores de a y b de la fórmula anterior para crear la ecuación estándar

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Lo sabemos,

$a = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 \times (n - q)\times(n +q- 2k)}{(p - m)\times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } \times \sqrt \dfrac {(p - m)\times(p + m - 2h)}{(n - q)\times(n +q- 2k)}$

Sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n obtenemos:

$a = \sqrt {\dfrac{(9-5)^2 \times (6 - 2)\times(6 +2- 28)}{(9 - 7)\times(9 + 7 - 25)} + (2-8)^2 } \times \sqrt \dfrac {(9 - 7)\times(9 + 7 - 25)}{(6 - 2)\times(6 +2- 28)}$

No podemos resolver esto y obtener un valor real de a.

Por lo tanto, nuestra hipótesis es Falsa. Una elipse con las condiciones dadas no puede existir.

Problema 3: Dado que el centro de una elipse es (1, 4) y los puntos A (2, 9) y B (12, 5) pasan por la elipse, formar la ecuación estándar de la elipse.

Solución:

Dado que el centro de la elipse es (h, k) = (1, 4) y (p, q) = (2, 9) y (m, n) = (12, 5) son dos puntos en la elipse, tenemos puede usar los valores de a y b de la fórmula anterior para crear la ecuación estándar:

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Lo sabemos,

$a=\sqrt {\dfrac{(p-h)^2 \times (n - q)\times(n +q- 2k)}{(p - m)\times(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } \times \sqrt \dfrac {(p - m)\times(p + m - 2h)}{(n - q)\times(n +q- 2k)}$

Sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n obtenemos:

$a = \sqrt {\dfrac{(2-1)^2 \times (5 - 9)\times(5 +9- 24)}{(2 - 12)\times(2 + 12 - 21)} + (9-4)^2 } \times \sqrt \dfrac {(2 - 12)\times(2 + 12 - 21)}{(5 - 9)\times(5+9-24)}$

Resolviendo, obtenemos un ≈ 11.22.

De manera similar, sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n en la fórmula para b, obtenemos:

$b = \sqrt {\dfrac{(2-1)^2 (5 - 9)(5+9-24)}{(2 - 12)(2 + 12 - 21)} + (9-4)^2 }$

Resolviendo, obtenemos b ≈ 5.02.

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es:

$\dfrac{(x-1)^2}{126} + \dfrac{(y-4)^2}{25.2} = 1$

Problema 4: Una elipse hipotética tiene su centro en (1, 3). Los puntos A (8, 2) y B (7, 5) pasan por la elipse. ¿Es posible que tal elipse exista en el plano real? Explica tu respuesta.

Solución:

Nuestra hipótesis es que la elipse existe.

Dado que el centro de la elipse es (h, k) = (1, 3) y (p, q) = (8, 2) y (m, n) = (7, 5) son dos puntos en la elipse, tenemos puede usar los valores de a y b de la fórmula anterior para crear la ecuación estándar:

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Lo sabemos,

$a = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2(n - q)(n +q- 2k)}{(p - m)(p + m - 2h)} + (q-k)^2 }\times \sqrt \dfrac {(p - m)(p + m - 2h)}{(n - q)(n +q- 2k)}$

Sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n obtenemos:

$a = \sqrt {\dfrac{(8-1)^2(5 - 2)(5 +2- 23)}{(8 - 7)(8 + 7 - 21)} + (2-3)^2 }\sqrt \frac {(8 - 7)(8 + 7 - 21)}{(5 - 2)(5 +2- 23)}$

Resolviendo esto, obtenemos un ≈ 7.3.

De manera similar, sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n en la fórmula para b, obtenemos:

$b = \sqrt {\dfrac{(8-1)^2 (5 - 2)(5+2- 23)}{(8 - 7)(8+7-21)} + (2-3)^2 }$

Resolviendo esto, obtenemos b ≈ 3.51.

Como los valores de a y b son reales, nuestra hipótesis es Verdadera . Puede existir una elipse que satisfaga las condiciones dadas.

Problema 5: El centro de una elipse está en el Origen. El punto (1, 5) se encuentra en la elipse. ¿El punto (11, 2) también se encuentra en la elipse?

Solución:

Nuestra hipótesis es que existe una elipse con centro en el Origen (0, 0) que pasa por los puntos (11, 2) y (1, 5).

Ahora, podemos usar los valores de a y b de la fórmula anterior para crear la ecuación estándar

$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Lo sabemos,

$a = \sqrt {\dfrac{(p-h)^2 (n - q)(n +q- 2k)}{(p - m)(p + m - 2h)} + (q-k)^2 } \sqrt \dfrac {(p - m)(p + m - 2h)}{(n - q)(n +q- 2k)}$

Sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n obtenemos:

$a = \sqrt {\dfrac{(11-0)^2 (5 - 2) (5 +2- 20)}{(11 - 1) (11 + 1 - 20)} + (2-0)^2 } \times \sqrt \dfrac {(11 - 1)(11 + 1 - 20)}{(5 - 2)(5 +2- 20)}$

Resolviendo esto, obtenemos un ≈ 11.99.

De manera similar, sustituyendo los valores de p, q, h, k, m y n en la fórmula para b, obtenemos:

$b = \sqrt {\dfrac{(11-0)^2 (5 - 2)(5 +2- 20)}{(11 - 1)(11 + 1 - 20)} + (2-0)^2 }$

Resolviendo esto, obtenemos b ≈ 5.02.

Como los valores de a y b son reales, nuestra hipótesis es Verdadera . El punto (11, 2) se encuentra en la elipse.

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Artículo escrito por phasing17 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta: Determine la ecuación de la forma estándar de la elipse dada: Las coordenadas de dos puntos P (p, q) y M (m, n), y las coordenadas del centro, O (h, k).

Solución:

Problemas de muestra

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