Las secciones cónicas, comúnmente conocidas como cónicas, se forman cuando un plano se cruza con un cono. El ángulo en el que se cruzan estas secciones determina su forma. Por lo tanto, las secciones cónicas se clasifican en cuatro tipos: círculo, elipse, parábola e hipérbola. Cada uno de estos tipos tiene su propio conjunto de ecuaciones y propiedades matemáticas. La elipse se analiza a continuación.
Elipse
Una elipse es una sección cónica generada cuando un plano se encuentra con un cono en un ángulo (β) que es menor que el ángulo recto pero mayor que el ángulo formado en el vértice del cono (α). Para decirlo de otra manera, se genera una elipse cuando un plano corta un cono en un ángulo β tal que α<β<90 o .
Un cono y un plano se cruzan en un ángulo β que es menor que el ángulo recto pero mayor que α para producir una elipse, como se ilustra en el diagrama de arriba.
Ecuación de una elipse
- La ecuación estándar de una elipse centrada en (h, k) con un eje mayor paralelo al eje x viene dada por:
,
donde las coordenadas del vértice son (h±a, 0), las coordenadas del co-vértice son (h, k±b) y las coordenadas de los focos son (h±c, k), donde c 2 = a 2 – b 2 .
elipse horizontales
- La ecuación estándar de una elipse centrada en (h, k) con un eje mayor paralelo al eje y viene dada por:
,
donde las coordenadas del vértice son (h, k±a), las coordenadas del co-vértice son (h±b, k) y las coordenadas de los focos son (h, k±c), donde c 2 = a 2 – b 2 .
elipse vertical
¿Cómo encontrar la ecuación de una elipse dados los focos y el eje menor?
Solución:
Para encontrar la ecuación de una elipse, necesitamos los valores a y b. Ahora, nos dan los focos (c) y el eje menor (b). Para calcular a, usa la fórmula c 2 = a 2 – b 2 . Sustituye los valores de a y b en la forma estándar para obtener la ecuación requerida.
Comprendamos este método con más detalle a través de un ejemplo.
Ejemplo: digamos, una elipse centrada en el origen con focos (±4, 0) y eje menor (0, ±3).
Dado b = 3 y c = 4.
Póngalos en la fórmula c 2 = a 2 – b 2 para encontrar a.
un 2 = 3 2 + 4 2
un 2 = 25
un = 5
Como la elipse se encuentra en el eje x, la ecuación tiene la forma
.
Entonces, la ecuación es,
.
Problemas similares
Pregunta 1. Encuentra la ecuación de una elipse centrada en el origen con focos (±7, 0) y eje menor (0, ±5).
Solución:
Dado b = 5 y c = 7.
Póngalos en la fórmula c 2 = a 2 – b 2 para encontrar a.
un 2 = 5 2 + 7 2
un 2 = 74
Como la elipse se encuentra en el eje x, la ecuación es de la forma
Entonces, la ecuación es,
Pregunta 2. Encuentra la ecuación de una elipse centrada en el origen con focos (0, ±5) y eje menor (12, 0).
Solución:
Dado b = 12 y c = 5.
Póngalos en la fórmula c 2 = a 2 – b 2 para encontrar a.
un 2 = 5 2 + 12 2
un 2 = 169
un = 13
Como la elipse se encuentra en el eje y, la ecuación es de la forma
Entonces, la ecuación es,
Pregunta 3. Encuentra la ecuación de una elipse con centro en (3, 2) con c = 6 y b = 8.
Solución:
Dado b = 8, c = 6, h = 3 y k = 2.
Póngalos en la fórmula c 2 = a 2 – b 2 para encontrar a.
un 2 = 8 2 + 6 2
un 2 = 100
un = 10
Como la elipse se encuentra en el eje x, la ecuación es de la forma
Entonces, la ecuación es,
Pregunta 4. Encuentra las coordenadas del eje mayor de la elipse con focos (0, ±5) y eje menor (12, 0).
Solución:
Tenemos, c = 5 y b = 12.
Póngalos en c 2 = a 2 – b 2 para encontrar a.
un 2 = 12 2 + 5 2
un 2 = 169
un = 13
Las coordenadas del eje mayor son (0, ±13).
Pregunta 5. Encuentra las coordenadas del eje mayor de la elipse con focos (±24, 0) y eje menor (0, 10).
Solución:
Tenemos, c = 24 y b = 10.
Póngalos en c 2 = a 2 – b 2 para encontrar a.
un 2 = 10 2 + 24 2
un 2 = 676
un = 26
Las coordenadas del eje mayor son (0, ±26).