¿Cómo encontrar la longitud de la diagonal de un rombo?

Rhombus también se conoce como un cuadrilátero de cuatro lados. Se considera que es un caso especial de un paralelogramo. Un rombo contiene lados opuestos paralelos y ángulos opuestos iguales. Un rombo también se conoce con el nombre de diamante o diamante rombo. Un rombo contiene todos los lados de un rombo de igual longitud. Además, las diagonales de un rombo se bisecan entre sí en ángulo recto. 

Propiedades de un rombo

Un rombo contiene las siguientes propiedades: 

• Un rombo contiene todos los lados iguales.
• Las diagonales de un rombo se bisecan entre sí en ángulo recto.
• Los lados opuestos de un rombo son de naturaleza paralela.
• La suma de dos ángulos adyacentes de un rombo es igual a 180 ^° .
• No hay círculo de inscripción dentro de un rombo.
• No hay círculo que circunscriba alrededor de un rombo.
• Las diagonales de un rombo conducen a la formación de cuatro triángulos rectángulos.
• Estos triángulos son congruentes entre sí.
• Los ángulos opuestos de un rombo son iguales.
• Cuando conectas el punto medio de los lados de un rombo, se forma un rectángulo.
• Cuando se conectan los puntos medios de la mitad de la diagonal, se forma otro rombo.

Diagonal de un rombo

Un rombo tiene cuatro aristas unidas por vértices. Al conectar los vértices opuestos de un rombo, se forman aristas adicionales, lo que da como resultado la formación de diagonales de un rombo. Por lo tanto, un rombo puede tener dos diagonales, cada una de las cuales se corta en un ángulo de 90°. 

Propiedades de la diagonal de un rombo 

Las diagonales de un rombo tienen las siguientes propiedades: 

• Las diagonales se bisecan entre sí en ángulo recto.
• Las diagonales de un rombo se dividen en cuatro triángulos rectángulos congruentes.
• Las diagonales de un rombo pueden o no tener la misma longitud.

Cálculo de la diagonal de un rombo 

La longitud de las diagonales del rombo se puede calcular utilizando los siguientes métodos: 

Por el teorema de Pitágoras 

Supongamos que d ₁ es la diagonal del rombo. 

Como sabemos, todos los lados adyacentes en un rombo subtienden un ángulo de 90 grados.

Por lo tanto, 

En el triángulo BCD tenemos, 

BC ² + CD ² = BD ²

Ahora tenemos, 

En el caso de un rombo cuadrado con todos los lados iguales, 

Cuadrado Diagonal: a√2

donde a es la longitud del lado del cuadrado

En el caso de un rombo rectángulo, tenemos, 

Rectángulo Diagonal: √[l ²  + b ² ]

dónde,

• l es la longitud del rectángulo.
• b es el ancho del rectángulo.

Usando el área del rombo

Consideremos que O es el punto de intersección de dos diagonales, a saber, d ₁ y d ₂ .

Ahora, 

El área del rombo es equivalente a, 

A = 4 × área de ∆AOB

= 4 × (½) × AO × OB unidades cuadradas

= 4 × (½) × (½) d ₁ × (½) d ₂ unidades cuadradas

= 4 × (1/8) d ₁ × d ₂ unidades cuadradas

= ½ × re ₁ × re ₂

Por lo tanto, Área de un rombo = A = ½ × d ₁ × d ₂

Área de rombo usando diagonales

Considere un rombo ABCD, que tiene dos diagonales, es decir, AC y BD.

• Paso 1: Calcular la longitud del segmento de recta AC, uniendo los puntos A y C. Sea ésta la diagonal 1, es decir, d ₁ .

Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y subtienden triángulos rectángulos al cruzarse entre sí en el centro del rombo.

• Paso 2: Del mismo modo, calcule la longitud de la diagonal 2, es decir, d ₂ , que es la distancia entre los puntos B y D.
• Paso 3: Multiplique ambas diagonales calculadas, d ₁ y d ₂ .
• Paso 4: El resultado se obtiene dividiendo el producto por 2.

La resultante dará el área de un rombo ABCD.

Ejemplos de preguntas 

Pregunta 1. Uno de los lados de un rombo equivale a 5 cm. Una de las diagonales del rombo mide 8 cm, calcula la longitud de la otra diagonal.

Solución:

Consideremos que ABCD es un rombo, donde AC y BD son las diagonales. 

Tenemos, 

El lado del rombo mide 5 cm.  

BD = 8 cm   

Ya que sabemos que las diagonales del rombo se bisecan perpendicularmente entre sí.  

∴BO = 4cm 

Por el teorema de Pitágoras tenemos, 

 En ángulo recto △AOB,  

⇒ (AB) ² = (AO) ² + (BO) ²            

⇒ (5) ² = (AO) ² + (4) ²  

⇒ 25 = (AO) ² + 16  

⇒ (AO) ² = 9  

∴ OA = 3cm  

⇒ CA = 2 × 3 = 6 cm  

∴ La longitud de la otra diagonal del rombo es equivalente a 6 cm.

Pregunta 2. Calcula el área de un rombo con diagonales equivalentes a 6 cm y 8 cm respectivamente.

Solución:

Sabemos,

Diagonal 1, d ₁ = 6 cm

Diagonal 2, d ₂ = 8 cm

Área de un rombo, A = (d ₁ × d ₂ ) / 2

Sustituyendo los valores, 

= (6 × 8) / 2

= 48 / 2

⁼ 24cm2

Por lo tanto, el área del rombo es de 24 cm ² .

Pregunta 3. Un parque rectangular tiene 10m de largo y 8m de ancho. Calcular la diagonal del parque. 

Solución:   

Tenemos, 

Largo = 100m
Ancho = 8m

Calculando diagonales, obtenemos, 

Rectángulo Diagonal = √[l ²  + b ² ]

= √[10 ²  + 8 ²  ]

= √[164]

= 12,80 metros

Pregunta 4. Un rombo cuadrado tiene un lado de 5 cm. Calcular la longitud de la diagonal. 

Solución:

Tenemos, 

Lado del cuadrado, a = 5 unidades

Calculando diagonales, obtenemos, 

Diagonal cuadrada = a√2

= 5√2

= 7,07 cm

Pregunta 5. El área del rombo es de 315 cm² y su perímetro es de 180 cm. Encuentra la altura del rombo.

Solución:

Tenemos, 

Perímetro del rombo = 180 cm

Calculando para el lado del rombo, 

Lado del rombo,b = P/4 = 180/4 = 45 cm

Ahora, 

Área del rombo = b × h

Sustituyendo los valores, 

 ⇒ 315 = 45 × h

⇒ h = 315/45

⇒ h = 7 cm

Por lo tanto, la altura del rombo es de 7 cm.