¿Cómo encontrar líneas de intersección?

La geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de los puntos, las líneas, los ángulos y las figuras. En otras palabras, la geometría es el estudio de las figuras y las cantidades relacionadas con ellas, como sus medidas y dimensiones. Las figuras y los ángulos se componen de líneas, que a su vez se componen de numerosos puntos. En Geometría, las líneas rectas se pueden categorizar ampliamente en Líneas Intersectantes y Líneas Paralelas

Líneas secantes

Las líneas que se cruzan entre sí, es decir, las líneas que tienen un punto de encuentro en común entre ellas se llaman líneas que se cortan, aquí el punto común de las líneas que se cortan se conoce como el punto de intersección. O podemos decir que cuando dos o más líneas que son coplanares entre sí y se encuentran en puntos comunes, estos tipos de líneas se conocen como líneas que se cruzan. Un punto importante a tener en cuenta aquí es que las líneas que se cruzan se encuentran en un solo punto, si las líneas se encuentran en más de un punto, no califican para llamarse líneas que se cruzan y, en cambio, caen en la categoría de líneas curvas.

 

Características de las líneas de intersección:

• Las líneas de intersección se cruzan/se encuentran exactamente en un punto.
• Las líneas de intersección pueden cruzarse entre sí en cualquier ángulo posible entre cero y ochenta grados.
• Cuando dos rectas se intersecan, se forman un par de ángulos verticalmente opuestos en el punto de intersección. 

Las líneas perpendiculares son un tipo especial de líneas que se cruzan y forman un ángulo de 90 grados en su punto de encuentro. Aquí, las dos líneas: Line1 y Line2 se encuentran a noventa grados.

¿Cómo encuentras las líneas que se cruzan?

Solución:

Consideremos dos líneas p1 y p2 y ahora encontramos el punto de intersección. 

La ecuación de las rectas son

a1x + b1y + c1 = 0 

a2x + b2y + c2 = 0 

Ahora supongamos que el punto de intersección es (x0, y0)

Asi que, 

a1x0 + b1y0 + c1 = 0 

a2x0 + b2y0 + c2 = 0 

Usando la regla de Cramer obtenemos,

x0/(b1c2 – b2c1) = -y0/(a1c2 – a2c1) = 1/(a1b2 – a2b1)

Por lo tanto, el punto de intersección es 

(x0, y0) = (b1c2 – b2c1/a1b2 – aq2b1, c1a2 – c2a1/a1b2 – a2b1)

Así es como podemos encontrar las líneas que se cruzan

Ángulo de intersección

Ahora encontramos el ángulo de intersección. Entonces, la ecuación de las dos líneas en la forma de intersección de pendiente son:

y = (-a1/b1)x + (c1/b1) = m1x + C1

y = (-a2/b2)x + (c2/b2) = m2x + C2

Asi que, 

tan θ = tan(θ ₂ – θ ₁ ) = tanθ ₂ – tanθ ₁ /1 + tanθ ₁ tanθ ₂ = m ₂ – m ₁ /1 + m ₁ m ₂

Ejemplo: 

Líneas dadas: y = 4x + 8 y y = 3x + 9

En el punto de intersección, ambas líneas tienen el mismo punto de intersección, por lo que

 4x + 8 = 3x + 9

4x -3x = 9 – 8

X = 1

Ahora pon el valor de x en cualquiera de las ecuaciones anteriores obtenemos

y = 4 + 8

y = 12

Entonces el punto de intersección es (1, 12)

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1. Dos líneas se encuentran en dos puntos. ¿Pueden llamarse líneas que se cortan?

Solución:

No, las líneas no pueden llamarse líneas que se cortan ya que no siguen el criterio de líneas que se cortan y se encuentran exactamente en un punto.

Pregunta 2. Representa en forma de diagrama la intersección de dos líneas.

Solución:

Las líneas que se cruzan se pueden representar de la siguiente manera: 

Pregunta 3. Dadas dos líneas cuando se extienden infinitamente siempre tienen la misma distancia y no tienen ni un solo punto en común. ¿Califican tales líneas para ser llamadas líneas de intersección?

Solución:

No, tales líneas no satisfacen los criterios de las líneas que se cortan, en lugar de que sobre todo sean las características de las líneas paralelas. Entonces, podemos llamar a las líneas anteriores paralelas en lugar de líneas que se cruzan.

Pregunta 4. Dadas dos rectas se cortan a 90 grados. ¿Cómo se llamará ese par de rectas que se cortan?

Solución:

El par dado de rectas que se cortan se llamaría rectas perpendiculares.