¿Cómo encontrar una relación entre dos puntos?

La geometría es sin duda una de las áreas más significativas de las matemáticas. Su importancia es tan grande como la de la aritmética y el álgebra, tanto en nuestra vida cotidiana como en la teoría y práctica matemática. La geometría se utiliza en la teoría y los problemas matemáticos para determinar la distancia entre dos formas, la cantidad de espacio que ocupan, sus tamaños y sus ubicaciones.

Geometría coordinada

Rama de la geometría que se utiliza para estudiar las posiciones de los puntos, utilizando sus coordenadas. No solo eso, la geometría de coordenadas también se usa para estudiar la distancia entre dos puntos, para calcular cómo un punto divide un segmento de línea uniendo dos puntos en una proporción, encontrar áreas de formas en un plano cartesiano, etc.

Plano coordinado

Tal plano que está formado por la intersección de dos líneas, una de ellas vertical y la otra horizontal, se llama plano de coordenadas en matemáticas. Es un plano de dos dimensiones, con la línea vertical como su eje y y la horizontal como el eje x. El punto de intersección de las dos líneas en el plano se llama origen y se denota por O. Las figuras en una cuadrícula coincidente se usan para detectar puntos. Un plano de coordenadas se puede usar para graficar puntos, líneas y mucho más. Actúa como un gráfico y produce direcciones precisas de un punto a otro.

¿Cómo encontrar una relación entre dos puntos?

Solución:

En geometría, existe un número indefinido de formas de desarrollar una relación entre dos puntos, siendo una de ellas la aplicación de la fórmula de la distancia.

Fórmula de distancia

En términos simples, la distancia es la medida de cuán separados están dos cosas/objetos/puntos. Claramente, la fórmula de la distancia es una ecuación matemática para calcular la distancia entre dos objetos/puntos en función de sus coordenadas. Cabe señalar que los puntos en cuestión no necesariamente tienen que estar en el mismo cuadrante. La fórmula de la distancia se usa principalmente en el sistema de coordenadas en matemáticas para determinar qué tan separados están dos puntos en un plano de coordenadas usando sus coordenadas, lo que lo hace extremadamente importante en el tema de la geometría.

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Ejemplo: Sea O el punto de partida. Si OP=OQ, tenemos una relación entre dos puntos P y Q en un plano.

Dado que esto es cierto tanto para (P,Q) como para (Q,P), es una relación simétrica.

Del mismo modo, también se puede demostrar la equivalencia de esta relación.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Encuentra una relación entre x e y si el punto (x, y) es equidistante de (3, 6) y (-3, 4).

Solución:

Dado: El punto P(x, y) es equidistante tanto de A(3, 6) como de B(-3, 4).

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y A(3, 6) viene dada por:

D1 = $\sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2}$

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y B(-3, 4) viene dada por:

D2 = $\sqrt{(-3-x)^2+(4-y)^2}$

Dado que D1 = D2, tenemos:

$\sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2} = \sqrt{(-3-x)^2+(4-y)^2}$

Cuadre ambos lados. Después,

x2 + 9 – 6x + y2 + 36 – 12y = x2 + 9 + 6x + y2 + 16 – 8y

⇒ 12x + 4y = 20

⇒ 3x + y = 5

⇒ 3x + y – 5 = 0

Pregunta 2. ¿Cuál es la relación entre X e Y si el punto (x, y) es equidistante de (1, 2) y (3, 5)?

Solución:

Dado: El punto P(x, y) es equidistante tanto de A(1, 2) como de B(3, 5).

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y A(1, 2) viene dada por:

D1 = $\sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}$

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y B(3, 5) viene dada por:

D2 = $\sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}$

Dado que D1 = D2, tenemos:

$\sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2} = \sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}$

Cuadre ambos lados. Después,

x2 + 1 – 2x + y2 + 4 – 4y = x2 + 9 – 6x + y2 + 25 – 10y

⇒ 6x – 2x + 10y – 4y = 9 – 1 + 25 – 4

⇒ 4x + 6y = 29

Pregunta 3. Encuentra y si la distancia entre los puntos P(2, – 3) y Q(10, y) es de 10 unidades.

Solución:

Dado: PQ = 10 unidades

Usando la fórmula de la distancia, tenemos:

$\sqrt{(2-10)^2+(-3-y)^2} = 10^2$

$⇒ \sqrt{(-8)^2+(y+3)^2} = 100$

Cuadre ambos lados.

⇒ 64 + (y +3)2 = 100

⇒ (y+3)2 = 36

⇒ y = 3 o −9

Pregunta 4. ¿Cuál es la relación entre X e Y si el punto (x, y) es equidistante de (3, 6) y (-3, 5)?

Solución:

Dado: El punto P(x, y) es equidistante tanto de A(3, 6) como de B(-3, 5).

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y A(3, 6) viene dada por:

D1 = $\sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2}$

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y B(-3, 5) viene dada por:

D2 = $\sqrt{(-3-x)^2+(5-y)^2}$

Dado que D1 = D2, tenemos:

$\sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2} = \sqrt{(-3-x)^2+(5-y)^2}$

Cuadre ambos lados. Después,

x2 + 9 – 6x + y2 + 36 – 12y = x2 + 9 + 6x + y2 + 25 – 10y

⇒ 6x + 6x + 12y – 10y = 36 – 25

⇒ 12x + 2y = 11

Pregunta 5. ¿Cuál es la relación entre X e Y si el punto (x, y) es equidistante de (3, 6) y (-3, 2)?

Solución:

Dado: El punto P(x, y) es equidistante tanto de A(3, 6) como de B(-3, 2).

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y A(3, 6) viene dada por:

D1 = $\sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2}$

Usando la fórmula de la distancia, la distancia entre P(x, y) y B(-3, 2) viene dada por:

D2 = $\sqrt{(-3-x)^2+(2-y)^2}$

Dado que D1 = D2, tenemos:

$\sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2} = \sqrt{(-3-x)^2+(2-y)^2}$

Cuadre ambos lados. Después,

x2 + 9 – 6x + y2 + 36 – 12y = x2 + 9 + 6x + y2 + 4 – 4y

⇒ 12x – 8y = -32

⇒ 3x – 2y = -8

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por parmaramolaksingh1955 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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