La pendiente de una línea es una medida de su inclinación y dirección. Se define como el cambio en la coordenada y al cambio en la coordenada x de esa línea. Se denota con el símbolo m. Si dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) están conectados por una línea recta en una curva y = f(x), la pendiente viene dada por la razón de la diferencia de coordenadas y a x- diferencia de coordenadas.
¿Cómo hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos?
La forma de dos puntos se usa para encontrar la ecuación de una línea que pasa por dos puntos. Su fórmula está dada por,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
o
dónde,
m es la pendiente de la línea,
(x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son los dos puntos por donde pasa la recta,
(x, y) es un punto arbitrario en la línea.
Derivación
Considere una línea con dos puntos fijos B (x 1 , y 1 ) y C (x 2 , y 2 ). Otro punto A (x, y) es un punto arbitrario en la línea.
Como los puntos A, B y C son concurrentes la pendiente de AC debe ser igual a BC.
Usando la fórmula de la pendiente obtenemos,
(y – y 1 ) / (x – x 1 ) = (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 )
Multiplicando ambos lados por (x – x 1 ) obtenemos,
Esto deriva la fórmula para la forma de dos puntos de una línea.
Problemas de muestra
Problema 1. Hallar la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-1, 2).
Solución:
Tenemos,
(x 1 , y 1 ) = (2, 4)
(x 2 , y 2 ) = (-1, 2)
Encuentra la pendiente de la recta.
m = (2 – 4)/(-1 – 2)
= -2/-3
= 2/3
Usando la forma de dos puntos que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
y-4 = 2/3 (x-2)
3y – 12 = 2 (x – 2)
3y – 12 = 2x – 4
2x – 3y + 8 = 0
Problema 2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por los puntos (4, 5) y (3, 1).
Solución:
Tenemos,
(x 1 , y 1 ) = (4, 5)
(x 2 , y 2 ) = (3, 1)
Encuentra la pendiente de la recta.
m = (1 – 5)/(3 – 4)
= -4/-1
= 4
Usando la forma de dos puntos que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
y-5 = 4 (x-4)
y-5 = 4x-16
4x-y-11 = 0
Problema 3. Hallar la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 0).
Solución:
Tenemos,
(x 1 , y 1 ) = (2, 1)
(x 2 , y 2 ) = (4, 0)
Encuentra la pendiente de la recta.
m = (0 – 1)/(4 – 2)
= -1/2
Usando la forma de dos puntos que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
y – 1 = (-1/2) (x – 2)
2y – 2 = 2 – x
x + 2y – 4 = 0
Problema 4. Hallar el intercepto en y de la ecuación de una recta que pasa por los puntos (3, 5) y (8, 7).
Solución:
Tenemos,
(x 1 , y 1 ) = (3, 5)
(x 2 , y 2 ) = (8, 7)
Encuentra la pendiente de la recta.
m = (7 – 5)/(8 – 3)
= 2/5
Usando la forma de dos puntos que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
y-5 = (2/5) (x-3)
5y – 25 = 2x – 6
2x – 5y + 19 = 0
Ponga x = 0 para obtener el intercepto en y.
=> 2 (0) – 5 años + 19 = 0
=> 5 años = 19
=> y = 19/5
Problema 5. Hallar el intercepto en x de la ecuación de una recta que pasa por los puntos (4, 8) y (1, 3).
Solución:
Tenemos,
(x 1 , y 1 ) = (4, 8)
(x 2 , y 2 ) = (1, 3)
Encuentra la pendiente de la recta.
m = (3 – 8)/(1 – 4)
= -5/-3
= 5/3
Usando la forma de dos puntos que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
y-8 = (5/3) (x-4)
3y – 24 = 5x – 20
5x – 3y + 4 = 0
Ponga y = 0 para obtener la intersección con x.
=> 5x – 3 (0) + 4 = 0
=> 5x + 4 = 0
=> x = -4/5
Problema 6. Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos (2, 7) y (-4, 5).
Solución:
Tenemos,
(x, y) = (2, 7)
(x 1 , y 1 ) = (-4, 5)
Usando la fórmula que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
=> 7 – 5 = metro (2 – (-4))
=> 2 = metro (2 + 4)
=> 6m = 2
=> metro = 1/3
Problema 7. Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos (4, -5) y (6, 7).
Solución:
Tenemos,
(x, y) = (4, -5)
(x 1 , y 1 ) = (6, 7)
Usando la fórmula que obtenemos,
y – y 1 = metro (x – x 1 )
=> -5 – 7 = metro (4 – 6)
=> -12 = metros (-2)
=> -2m = -12
=> metro = 6