El número complejo se deriva de las raíces de cualquier n-ésima ecuación. Si la ecuación tiene raíces reales, está bien; de lo contrario, la ecuación puede tener raíces distintas de las reales, lo que significa que las raíces que no son reales en esta confusión de raíces que no son números complejos reales nacen. Si la n-ésima ecuación de potencia tiene raíces reales y también una combinación de raíces reales e imaginarias. Esa combinación de raíces reales e imaginarias las llamamos números complejos.
Números complejos
Los números complejos tienen la forma a+ib, que también se denomina forma general de números complejos. En la forma a+ib, a es una parte real de un número complejo, b es la parte imaginaria de un número complejo e i se define como √(-1). Hay muchas formas de números complejos. Están,
- Forma general (Z = a + ib).
- Forma polar (Z = r(cosθ + isinθ)).
- Forma exponencial (Z = re iθ ).
Forma general de un número complejo
Un número complejo tiene una forma general que se ve como Z=a+ib donde a es la parte real y b es la parte imaginaria e i se llama iota que es √(-1).
Representación de plano complejo
La forma polar de un número complejo.
Un número complejo tiene una forma polar que se parece a Z = r(cosθ + isinθ) donde rcosθ es la parte real y rsinθ es la parte imaginaria e i se llama iota, que es √(-1).
La forma exponencial de un número complejo
Un número complejo tiene una forma exponencial que parece Z=reiθ donde eiθ también se puede escribir como cosθ+isinθ que parece una forma polar al final.
Nota: También podemos convertir la forma general en forma polar, exponencial y viceversa, también podemos convertir la forma polar en forma general, forma exponencial y viceversa, y también podemos convertir la forma exponencial en general, polar y viceversa. Ahora tenemos que discutir dónde son útiles estos números complejos en la vida real.
Números complejos en la vida real
Los números complejos se utilizan en muchas variedades de campos en la vida real. A continuación se dan los usos más importantes de los números complejos, y también se explica su explicación adecuada.
- El número complejo se usa en electrónica.
- El número complejo se utiliza en electromagnetismo.
- El número complejo se usa para simplificar las raíces desconocidas si las raíces no son reales para las ecuaciones cuadráticas.
- Los números complejos se utilizan en la ingeniería informática.
- El número complejo se utiliza en ingeniería mecánica y civil.
- Los números complejos se utilizan en los sistemas de control.
- Números complejos en Electrónica
En electrónica, estamos acostumbrados a representar la forma general de un número complejo en el circuito que tiene voltaje y corriente. En Electrónica, el circuito se basa principalmente en corriente y voltaje. Esos dos elementos se juntan como números complejos únicos. Z = V+ iI es la representación compleja de un circuito que tiene corriente y voltaje donde V es la parte del eje real e I es la parte del eje imaginario para que podamos ver la comparación de V e I representándolos como un número complejo en electronica A veces, en circuitos RC o circuitos RLC, si queremos combinar dos elementos, digamos, por ejemplo, resistencia e inductor, podemos escribirlo como R + jX L , así como si en el caso de que la representación del número complejo de resistencia y capacitor fuera R + j X c donde X L = jwL y Xc = 1/jwc.
- Números complejos en electromagnetismo
En electromagnetismo, los elementos principales son el campo eléctrico y el campo magnético. Esos elementos se representan en forma de números complejos donde el número real o eje real se representa mediante un campo eléctrico, el campo magnético se representa como una parte imaginaria de un eje imaginario.
- Números complejos para encontrar raíces en ecuaciones cuadráticas
Se usa una ecuación cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación. Si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, está bien. Si la ecuación cuadrática no puede encontrar las raíces reales, se dice que las raíces no son raíces reales denominadas raíces imaginarias. Las raíces imaginarias se pueden encontrar con la fórmula (-b + √(b 2 – 4ac))/2a, (-b – √(b 2 – 4ac))/2a son dos raíces imaginarias complejas si la ecuación cuadrática no puede encontrar raíces reales. raíces. En esta aplicación, podemos usar números complejos.
- Números complejos utilizados en ingeniería informática
En Informática, los datos ocupan un lugar preponderante. Los datos no se pueden ver visualmente porque están en forma de archivos CSV. Esos datos de archivos CSV se pueden ver mediante el uso de métodos de representación visual en informática. Esa representación visual está en el eje real y el eje imaginario solo para que se usen números complejos para representar los datos en un formato visual para la tecnología informática. En imágenes 2D también podemos usar números complejos. La rotación de un punto que tiene una parte real y una parte imaginaria y la traslación de un punto en una imagen 2D representa el número complejo.
- Números complejos en ingeniería mecánica y civil
En ingeniería mecánica y civil, el diseño es el principal para automóviles y edificios. Para hacer tal cosa, tenemos que usar conceptos de diseño 2D que dependen principalmente de números complejos únicamente. Las rotaciones también se usan en el dibujo porque un punto se representa solo con un número complejo.
- Números complejos en sistemas de control
Se requiere la conversión de los sistemas de control del sistema del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia que se debe realizar utilizando la transformada de Laplace. En que los polos y ceros del sistema se direccionan mediante un plano complejo que tiene un eje real e imaginario. Esta es la razón y los usos del número complejo utilizado en el sistema de control.
Problemas de muestra
Problema 1: Resuelva la ecuación cuadrática X 2 + 5X + 3 = 0 y verifique si las raíces son imaginarias o no.
Solución:
3X 2 + 5X + 3 = 0 parece ax 2 + bx + c = 0
a = 3, b = 5, c = 3
Fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática = (-b + √(b 2 – 4ac))/2a, (-b – √(b 2 – 4ac))/2a
= (-5 + √25 – 4 × 3 × 3)/2 × 3, (-5 – √25 – 4 × 3 × 3)/2 × 3
= (-5 + √25 – 36)/6, (-5 – √25 – 36)/6
= (-5 + √-11)/6, (-5 – √-11)/6
= (-5+i 3.3)/6, (-5-i 3.3)/6
= -0,83 + i 0,55, -0,83 – i 0,55
Las raíces -0.83 + i 0.55, -0.83 – i 0.55 están en forma de a+ib y a-ib por lo que son números complejos. Las raíces de las ecuaciones cuadráticas pueden ser números complejos. En esta aplicación de encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas se utilizan números complejos.
Problema 2: ¿Calcular la impedancia de un circuito RC si el resistor tiene una resistencia de 2 ohms y el capacitor tiene una capacitancia de 4 faradios en un circuito que están en serie y frecuencia f = 1kHz?
Solución:
Dado que R = 2 ohm
C = 4 faradios
Impedancia Z = R + X c donde X c = 1/jwc
Z = R + (1/j(2 × π × f × C)
Sustituyendo R, f, C en la ecuación anterior obtenemos la impedancia del circuito RC.
Z = 2-j(1/ 2 × 3,14 × 1 × 4)
Z = 2 – j(1/6,28 × 4)
Z = 2 – j(0,0398)
Impedancia Z = 2 – j(0.0398) que también está en forma de números complejos únicamente. Es por eso que los números complejos se usan para calcular la impedancia del circuito.
Problema 3: Si z 1 = 2 + 5i y z 2 = 7 + 9i. Calcular z 1 × z 2 ?
Solución:
Dado que z 1 = 2 + 5i y z 2 = 7 + 9i
z 1 × z 2 = (2 + 5i)(7 + 9i)
= 14 + 18i + 35i + (i 2 ) × 45
= 14 + 53i – 145
= -31 + 53i.
z 1 × z 2 que tiene la forma de número complejo (a + ib) = -31 + 53i.
Problema 4: Si z 1 = 5.5 + 5i y z 2 = 7.7 + 7i. Calcular z 1 + z 2 ?
Solución:
Dado que z 1 = 5 + 5i y z 2 = 7 + 7i
z1 + z2 = 5,5 + 5i + 7,7 + 7i
= 13.2 + 12i
z 1 + z 2 que tiene la forma de número complejo (a + ib) = 12 + 12i.
Problema 5: Si Si z 1 = 6 + 5i y z 2 = 6 + 7i. Calcular z 1 – z 2 ?
Solución:
Dado que z 1 = 6 + 5i y z 2 = 6 + 7i
z1 – z2 = 6 + 5i – 6 + 7i
= 0 + 12i
z 1 – z 2 que tiene la forma de número complejo (a + ib) = 0 + 12i.
Problema 6: Si Si z 1 = 1 + 5i y z 2 = 2 + 5i. Calcular z 1 /z 2 ?
Solución:
Dado que z 1 = 1 + 5i y z 2 = 2 + 5i
z1 / z2 = 1 + 5i/ 2 + 5i
Multiplica y divide por 2 – 5i
z1 /z2 = 1 + 5i × (2 – 5i)/(2 – 5i)(2 + 5i)
z1 / z2 = ( 2 – 5i + 10i + 25)/(4 + 25 )
z1 / z2 = (27 + 5i)/29
z1 / z2 = 0,93 + i 0,17
z 1 /z 2 que tiene la forma de número complejo (a + ib) = 0,93 + i 0,17.
Problema 7: ¿Cómo representar el número complejo 9+10 i en el plano complejo 2D?
Solución:
Dado que el número complejo a + ib = 9 + 10i.
Donde a = 9 y b = 10 lo que significa que la parte real es 9 y la parte del eje imaginario es 10
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Artículo escrito por rupasrichalamalapalli y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA