Entendiendo la desigualdad de Chebyshev con un ejemplo

En este artículo, discutiremos la descripción general del algoritmo de desigualdad de Chebyshev y cubriremos la comprensión de la desigualdad de Chebyshev con un ejemplo. El requisito previo es ir al siguiente enlace para comprender el teorema de Markov y obtener conocimientos matemáticos más profundos detrás de la desigualdad de Chebyshev, y es una prueba. Discutámoslo uno por uno.

Requisito previo –

Desigualdad de Chebyshev : 
Se basa en el concepto de varianza. Dice que dada una variable aleatoria R, entonces ∀ x > 0, La probabilidad de que la variable aleatoria R se desvíe de su valor esperado en cualquier lado por al menos x se da de la siguiente manera.

          //equation -1

Donde representa los siguientes valores de la siguiente manera.

Var(R) - It denotes variance of Random Variable R.
Ex(R)  - It denotes the Expected value of Random Variable R.

Prueba: 
Conocemos la desigualdad de Markov en Probabilidad de la siguiente manera.

       //equation -2

Poner: R – Ex(R) en lugar de R en esto y elevarlo al cuadrado y luego aplicar la desigualdad de Markov, obtenemos la siguiente expresión de la siguiente manera.

    //equation -3

         //equation -4

También sabemos que la siguiente expresión y con la ayuda de esto podemos evaluar.

Ahora, coloque esto en la cuarta ecuación y reemplace LHS de la cuarta ecuación con LHS de la tercera ecuación, obtenemos la desigualdad de Chebychev de la siguiente manera.

Resultado :

Corolario de la desigualdad de Chebyshev:
si reemplazamos X con c*Var(R), donde c > 0, obtenemos la siguiente ecuación que se puede demostrar muy fácilmente de la siguiente manera.

Ejemplo de la desigualdad de Chebyshev:
Comprendamos el concepto con la ayuda de un ejemplo para una mejor comprensión de la siguiente manera.

Ejemplo-1:
digamos que la variable aleatoria R = IQ de una persona aleatoria. Y el coeficiente intelectual promedio de una persona es 100, es decir, Ex(R) = 100. Y la varianza en R es 15. (Suponiendo que R > 0). Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que si elegimos una persona al azar, su coeficiente intelectual sea de al menos 250?

Solución:
para resolver esto, usaremos el corolario de la desigualdad de Chebyshev de la siguiente manera.

P(R>=250) = P( R-100 >=150 ),

Comparando con el Corolario, podemos decir que el siguiente resultado es el siguiente.

since 150 = 10* Variance
so, c = 10.

Por lo tanto, la respuesta tiene un límite superior de 1/100, que es ≤1 %.

Ejemplo-2:
si resolvemos el mismo problema usando el teorema de Markov sin usar la varianza, obtenemos el límite superior de la siguiente manera.

P ( R >= 250 ) < = Ex(R) / 250
= 100/250 = 2/5 = 40%.

Entonces, el mismo problema está acotado superiormente en un 40 % por la desigualdad de Markov y en un 1 % por la desigualdad de Chebyshev. Por lo tanto, podemos decir que la desigualdad de Chebyshev da un mejor límite de probabilidad en comparación con la de Markov si conocemos la varianza de la variable aleatoria R.