Comprender los cuadriláteros: medidas de los ángulos exteriores de un polígono

El polígono es una forma cerrada y conectada hecha de líneas rectas. Puede ser una figura plana o plana dividida en dos dimensiones. Un polígono es una figura cerrada que puede tener más de 3 lados. Las líneas que forman el polígono se conocen como aristas o lados y los puntos donde se unen se conocen como vértices. Los lados que comparten un vértice común entre ellos se conocen como lados adyacentes. El ángulo encerrado en el lado adyacente se llama ángulo interior y el ángulo exterior se llama ángulo exterior.
 

Angulo exterior

Un ángulo exterior básicamente está formado por la intersección de cualquiera de los lados de un polígono y la prolongación del lado contiguo del lado elegido. Los ángulos interior y exterior formados dentro de un par de lados adyacentes forman un ángulo completo de 180 grados. 
 

Medidas de ángulos exteriores

1. Se forman en la parte exterior, es decir, en el exterior del ángulo.
2. La suma correspondiente del ángulo exterior e interior formado en el mismo lado = 180°.
3. La suma de todos los ángulos exteriores del polígono es independiente del número de lados y es igual a 360 grados, porque se necesita una vuelta completa para cubrir el polígono en sentido horario o antihorario.
4. Si tenemos un polígono regular de n lados, la medida de cada ángulo exterior
   = (suma de todos los ángulos exteriores del polígono)/n
   = (360 grados)/n

Teorema de la suma de los ángulos exteriores de un polígono

Si observamos un polígono convexo, entonces la suma de los ángulos exteriores presentes en cada vértice será 360°. El siguiente teorema explicará la suma de los ángulos exteriores de un polígono:

Prueba

Consideremos un polígono que tiene n número de lados. La suma de los ángulos exteriores es N.

La suma de los ángulos exteriores de un polígono(N) = 

Diferencia entre {la suma de los pares lineales (180n)} – {la suma de los ángulos interiores.(180(n – 2))}

N = 180n − 180(n – 2)     
N = 180n − 180n + 360
N = 360            

Por lo tanto, tenemos que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es 360°.             

Ejemplos de problemas sobre ángulos exteriores

Ejemplo 1: Encuentra el ángulo exterior marcado con x. 

Solución:

Dado que la suma de los ángulos exteriores es de 360 ​​grados, se cumplen las siguientes propiedades:

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°
50° + 75° + 40° + 125° + x = 360°
x = 360°

Ejemplo 2: Determina cada ángulo exterior del cuadrilátero.

Solución:

Como es un polígono regular, medida de cada ángulo exterior
=           360°          
Número de lados
=   360°  
       4
= 90°

Ejemplo 3: Encuentra el polígono regular donde cada uno de los ángulos exteriores es equivalente a 60 grados. 

Solución:

Como es un polígono regular, el número de lados se puede calcular por la suma de todos los ángulos exteriores, que es 360 grados dividido por la medida de cada ángulo exterior. 

Número de lados = Suma de todos los ángulos exteriores de un polígono 
                                                         n
Valor de un par de lados = 360 grados 
                                                          60 grados
                                                       = 6
Por lo tanto, este es un polígono encerrado en 6 lados, es decir, un hexágono.

Ejemplo 4: ¿Encuentra los ángulos interiores ‘x, y’ y los ángulos exteriores ‘w, z’ de este polígono?

Solución:

Aquí tenemos ∠DAC = 110° que es un ángulo exterior y ∠ACB = 50° que es un ángulo interior.

Primero tenemos que encontrar los ángulos interiores ‘x’ e ‘y’.
∠DAC+ ∠x = 180° {Pares lineales}
110° + ∠x = 180°  
∠x = 180° – 110°  
∠x = 70°  
Ahora, 
∠x + ∠y + ∠ACB = 180° {Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo} 
70°+ ∠y + 50° = 180°  
∠y + 120° = 180° 
∠y = 180° – 120° 
∠y = 60° 

En segundo lugar ahora podemos encontrar los ángulos exteriores ‘w’ y ‘z’.
∠w + ∠ACB = 180° {Pares lineales}
∠w + 50° = 180° 
∠w = 180° – 50° 
∠w = 130° 

Ahora podemos usar el teorema de la suma de los ángulos exteriores de un polígono,
∠w + ∠z + ∠DAC = 360° {La suma de los ángulos exteriores de un polígono es 360°}
130° + ∠z + 110° = 360° 
240° + ∠z = 360° 
∠z = 360° – 240° 
∠z = 120°