Conexión entre vectores propios y espacio nulo

requisitos previos:

• vectores propios
• Espacio nulo

Algunos puntos importantes sobre valores propios y vectores propios:

• Los valores propios pueden ser números complejos incluso para arrays reales.
• Cuando los valores propios se vuelven complejos, los vectores propios también se vuelven complejos.
• Si la array es simétrica (p. ej. A = A ^T ), entonces los valores propios son siempre reales.
• Como resultado, los vectores propios de arrays simétricas también son reales.
• Siempre habrá n vectores propios linealmente independientes para arrays simétricas.

Ahora, analicemos la conexión entre los vectores propios y el espacio nulo.

De este artículo mostramos que

AX = λX

Ahora permítame hacerle una pregunta. ¿Qué sucede cuando lambda es 0? Es decir, uno de los valores propios se convierte en 0.
Entonces, cuando uno de los valores propios se convierte en 0, entonces tenemos esta ecuación que viene dada por

AX = 0 —(ecuación 1)

De este artículo mostramos que

AB = 0 —(ecuación 2)

Así que te das cuenta de que la forma de la ecuación 1 y la ecuación 2 son iguales.

Entonces, eso básicamente significa que X , que es un vector propio correspondiente al valor propio, lambda es igual a 0 , es un vector espacial nulo, porque tiene la forma que hemos notado aquí. Entonces, podríamos decir que los vectores propios correspondientes a valores propios cero están en el espacio nulo de la array original A . Por el contrario, si el valor propio correspondiente a un vector propio no es 0 , entonces ese vector propio no puede estar en el espacio nulo de A. Entonces, estos son resultados importantes que necesitamos saber.
Entonces, así es como los vectores propios se conectan al espacio nulo.

Ejemplo:
Considere la siguiente array A

Observe que esta es una array simétrica, por lo tanto, los valores propios son siempre reales, como dije antes en la sección de puntos importantes.
Los valores propios de esta array son

λ = (0, 1, 2)

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son

Código: código de Python para calcular el valor propio y el vector propio

# Python program to illustrate
# connection between eigenvectors and nullspace
  
# Importing required libraries
import numpy as np
from numpy import linalg
  
# Taking A matrix
A = np.array([
    [0.36, 0.48, 0],
    [0.48, 0.64, 0],
    [0, 0, 2]
])
  
# Calculating eigenvalues and eigenvectors
eigValues, eigVectors = linalg.eig(A)
  
# Printing those values
print("Eigenvalue are :", eigValues)
print("Eigenvectors are :", eigVectors)
  
# Taking eigenvector 1
eigVector1 = np.array([
    [-0.8],
    [0.6],
    [0]
])
  
# Matrix multiplication between A and eigenvector1
result = np.dot(A, eigVector1)
# Print the result
print(result)
  
# This code is contributed by Amiya Rout

Output:
Eigenvalue are : [0. 1. 2.]
Eigenvectors are : 
[[-0.8 -0.6  0. ]
 [ 0.6 -0.8  0. ]
 [ 0.   0.   1. ]]
[[0.]
 [0.]
 [0.]]

Así que hemos notado en nuestra discusión anterior que si X1 es un vector propio correspondiente a lambda igual a 0 , entonces estará en el espacio nulo de esta array A. Verifiquémoslo multiplicando A por X1 . Verificamos que

puede ver con bastante facilidad que cuando realiza este cálculo, obtendrá este (0, 0, 0) , que básicamente muestra que este es el vector propio correspondiente al valor propio cero.