Conjunto de práctica para altura y distancia

Anteriormente, en el tema ‘Altura y distancia’, hemos discutido la definición básica de ángulo de elevación, depresión y algunas preguntas básicas y directas. Y a partir de aquí, discutiremos con más detalle y aprenderemos el nuevo tipo de pregunta que generalmente aparece en el examen y también intentaremos resolver esas preguntas de una manera engañosa.

Algunos conceptos básicos: –

Ángulo de Elevación: El ángulo desde un punto en el suelo hasta el punto por encima de su altura se llama ángulo de elevación. En

En otras palabras, cuando vemos arriba, el ángulo del ojo con la horizontal se llama ángulo de elevación.

Aquí, en la imagen dada, una persona está mirando un punto a que está por encima de la línea horizontal de su vista. Así que aquí se forma el ángulo en el ojo i,e; ∠A se llama ángulo de elevación.

Ángulo de depresión: el ángulo desde un punto sobre el suelo hasta el punto en el suelo se llama ángulo de depresión. En otras palabras, cuando vemos abajo, el ángulo con el ojo hacia la horizontal se llama ángulo de depresión.

Aquí, en la imagen dada, una persona está mirando un punto que está debajo de la línea horizontal de su vista. Así que aquí se forma el ángulo en el ojo i,e; ∠a se llama ángulo de depresión.

Algunos trucos que ayudarán a resolver preguntas rápidamente: –

En las preguntas máximas, los ángulos dados son en su mayoría de 30°. 45° y 60°, entonces usaré la razón de estos ángulos para resolver la pregunta.

CASO – 1, cuando el ángulo es de 30°:-

Sabemos que sen 30° = p/h = 1/2

Entonces, b = √(4 – 1) = √3

Entonces, si se da un ángulo de elevación/depresión de 30°, entonces la relación de p, b, h es 1 : √3 : 2

Pregunta basada en el Caso – 1.

Pregunta: 1 Si un hombre está a 20 m de un poste y el ángulo de elevación desde la parte superior del poste es de 30°, ¿cuál es la altura del poste?

Solución:

Aquí BC = 20m

Según el truco dado, p, b, h es 1 : √3 : 2

Aquí b = 20m

Y, p/b = AB/BC = 1/√3

⇒ AB/20 = 1/√3

Entonces, AB = 20/√3 m

Entonces, el valor requerido es 20/√3.

CASO – 2, cuando el ángulo es de 45°:-

Sabemos que tan 45° = p/b = 1/1

Entonces, h = √(1 + 1) = √2

Entonces, si se da un ángulo de elevación/depresión de 45°, entonces la relación de p, b, h es 1 : 1 : √2

Pregunta basada en el Caso – 2.

Pregunta: 2 Si la longitud de un poste es de 12 m y el ángulo de elevación desde la parte superior del poste hasta el punto A en el suelo es de 45°, ¿cuál es la distancia entre el poste y el punto A?

Solución:

Aquí AB = 12m

Según el truco dado, p, b, h es 1 : 1 : √2

Aquí p = 12m

Y, p/b = BC/AC = 1/1

⇒ 12/CA = 1/1

Entonces, CA = 12 m

Entonces, el valor requerido es 12m.

CASO – 3, cuando el ángulo es de 60°:-

Sabemos que tan 60° = p/b = √3/1

Entonces, h = √(3 + 1) = 2

Entonces, si se da un ángulo de elevación/depresión de 60°, entonces la relación de p, b, h es √3 : 1 : 2

Ahora practiquemos algunas de las preguntas basadas en los últimos exámenes:

Pregunta: 3 Un poste se rompe a cierta altura y hace 60° con respecto al suelo y la distancia entre el punto inferior del poste y el punto en que toca el suelo es de 10 m. ¿Cuál es la longitud del poste?

Deje que el poste se rompa desde el punto B y toque el punto A en el suelo.

Dado que el ángulo de elevación es de 60°, entonces p, b, h es √3 : 1 : 2

Entonces, tan 60° = p/b = √3/1

⇒ BC/AC = √3/1

⇒ BC/10 = √3/1

⇒ BC = 10√3 m = 17,3

Y, AB = √(BC2 + AC2) = √(300 + 100)m = 20m (Aprox.)

Dado que el poste se parte desde el punto B, la longitud del poste = BC+ AB = (17,3 + 20)m = 37,3m = 37 m (aproximadamente)

La longitud requerida es de 37m.

Pregunta: 4 La sombra de un árbol disminuye 15 m cuando la altura del sol cambia de 45° a 60°. Encuentra la longitud del árbol.

Solución:

Sea AB la longitud del árbol y la longitud de la sombra x cuando el ángulo de elevación es de 45°.

Entonces, la longitud de la sombra cuando el ángulo de elevación es de 60° = x – 15m

Para el ángulo de 45° en el triángulo ABD, tenemos

AB/BD = 1/1 = AB/x

Entonces, AB = x

Ahora, para el ángulo de 60° en el triángulo ABC, tenemos

AB/BC = √3/1 = x/(x – 15)

⇒ x = √3x – 15√3

⇒ (√3 – 1)x = 15√3

⇒ x = 15√3/(√3 – 1)m

La longitud del árbol es 15√3/(√3 – 1)m.

Pregunta: 5 Un poste se mantiene vertical en el suelo con la ayuda de dos cables en su parte superior y se fija al suelo en lados opuestos. Si el ángulo de elevación de ambos cables es de 30° y 60° respectivamente y la longitud del primer cable es de 8 m, entonces encuentra la longitud del otro cable.

Solución:

Sea AD la longitud del poste y AB y AC la longitud del primer y segundo alambre respectivamente.

En el triángulo ABD tenemos

∠B = 30°

Entonces, AB : AD = h : p = 2 : 1

⇒ 8/DA = 2/1

⇒ DA = 4m

Ahora, en el triángulo ADC, tenemos

∠C = 60°

Entonces, AD : AC = √3/2

⇒ 4/CA = √3/2

⇒ CA = 8/√3 = 8√3/3 m

La longitud requerida de cable es de 8√3/3 m.

Pregunta: 6 El ángulo de depresión desde una cometa que vuela hacia el cielo hasta un punto en el suelo es de 45° y cambia a 60° cuando la cometa vuela 10 m más arriba. Encuentra la altura inicial de la cometa.

Solución :

Supongamos que la cometa volaba inicialmente a una altura de AB.

Según la pregunta, en el triángulo ABC, tenemos

∠C = 45°

Entonces, AB = BC = 1/1

Entonces, AB = BC

Ahora, en el triángulo ADC, tenemos

∠C = 60°

Entonces, AD/BC = √3/1

⇒ (AB + 10)/AB = √3

⇒ AB + 10 = AB√3

⇒ AB(√3 – 1) = 10m

⇒ AB = 10/(√3 – 1) = 5(√3 + 1)m

La longitud requerida es 5(√3 + 1)m.

Pregunta: 7 El ángulo de elevación desde la parte superior del edificio A hasta la parte superior e inferior del edificio B es de 30° y 60° respectivamente. Si estos edificios están separados por 3√3m, entonces encuentra la longitud del edificio más alto.

Solución:

Sea AB la longitud del edificio A y CD la longitud del edificio B.

Según la figura BC = AE = 3√3m. y AB = CE

Ahora, en el triángulo ADE, tenemos

∠A = 30°

Entonces, DE : AE = p : b = 1 : √3

⇒ DE/3√3 = 1/√3

⇒ DE = 3m

Ahora, en el triángulo ABC, tenemos

∠C = 60°

Entonces, AB : BC = p : b = √3 : 1

⇒ AB/3√3 = √3/1

⇒ AB = 9m

Entonces, longitud del edificio B = CE + DE = 9m + 3m = 12m

La longitud requerida es de 12 m.

Pregunta: 8 Un hombre viaja en dirección este desde su casa a su oficina. Cuando viajó 15 m la altitud desde el techo de su casa es de 60° y cuando camina más de 5 segundos la altitud es de 30°. ¿Cuál es su velocidad?

Solución:

Sea AB la altura de su casa e inicialmente cubre la distancia AD y después de 5 segundos llega al punto C.

En el triángulo ABD tenemos

DA = 15m

∠D = 60°

Entonces, AB : AD = √3/1

⇒ AB/15 = √3

⇒ AB = 15√3m

Ahora, en el triángulo ABC, tenemos

∠C = 30°

Entonces, AB/AC = 1/√3

⇒ 15√3/CA = 1/√3

⇒ CA = 45m

Entonces, CD = AC – AD = 45m – 15m = 30m

Dado que el CD se cubre en 5 segundos,

Entonces velocidad requerida = 30/5 = 6m/s

La velocidad requerida es de 6 m/s.

Pregunta: 9 Hay dos postes al otro lado del camino. Si el ancho del camino es ‘a’ y desde el punto medio del camino, el ángulo de elevación a ambos postes es de 45° y 30° respectivamente, entonces encuentre la diferencia entre la altura de los postes.

Solución:

Sean AB y CD dos polos y O el punto medio del camino.

En el triángulo OCD, tenemos

∠DQO = 45°

Entonces, CD/OD = 1/1

⇒ CD = a/2

Ahora, en el triángulo AOB, tenemos

∠AOB = 30°

Entonces AB/BO = 1/√3

⇒ AB/(a/2) = 1/√3

⇒ AB = a/2√3

Entonces, la diferencia requerida = a/2 – a/2√3 = (a/2)(1 – 1/√3) = (a/2)(1.732 – 1)/√3 = (0.732/√3) a

La diferencia requerida es (0.732/√3)a.

Pregunta: 10 En la figura dada, si BC = 1m, encuentre el valor de AC.

Solución:

En el triángulo dado, tenemos

BC = 1m y ∠C = 30°

Entonces, BC : AC = b : h = √3 : 2

⇒ 1/CA = √3/2

⇒ CA = 2/√3

El valor requerido es 2/√3.