Dado un rectángulo amxn, ¿cuántos cuadrados hay en él?
Ejemplos:
Input: m = 2, n = 2
Output: 5
There are 4 squares of size 1x1 + 1 square of size 2x2.
Input: m = 4, n = 3
Output: 20
There are 12 squares of size 1x1 +
6 squares of size 2x2 +
2 squares of size 3x3.
Resolvamos primero este problema para m = n, es decir, para un cuadrado:
Para m = n = 1, salida: 1
Para m = n = 2, salida: 4 + 1 [ 4 de tamaño 1×1 + 1 de tamaño 2×2 ]
Para m = n = 3, salida: 9 + 4 + 1 [ 9 de tamaño 1×1 + 4 de tamaño 2×2 + 1 de tamaño 3×3 ]
Para m = n = 4, salida 16 + 9 + 4 + 1 [ 16 de tamaño 1×1 + 9 de tamaño 2×2 + 4 de tamaño 3×3 + 1 de tamaño 4×4 ]
En general, parece ser n^2 + (n-1) ^2 + … 1 = n(n+1)(2n+1)/6
Resolvamos este problema cuando m puede no ser igual a n:
Supongamos que m <= n
De la explicación anterior, sabemos que el número de cuadrados en la array amxm es m(m+1)(2m+1)/6
¿Qué sucede cuando agregamos una columna, es decir, cuál es el número de cuadrados en la array mx (m+1)?
Cuando añadimos una columna, el número de cuadrados aumentado es m + (m-1) + … + 3 + 2 + 1
[ m cuadrados de tamaño 1×1 + (m-1) cuadrados de tamaño 2×2 + … + 1 cuadrado de tamaño mxm ]
Que es igual a m(m+1)/2
Entonces, cuando agregamos (nm) columnas, el número total de cuadrados aumentado es (nm)*m(m+1)/2.
Entonces, el número total de cuadrados es m(m+1)(2m+1)/6 + (nm)*m(m+1)/2.
Usando la misma lógica podemos probar cuando n <= m.
Entonces, en general,
Total number of squares = m x (m+1) x (2m+1)/6 + (n-m) x m x (m+1)/2 when n is larger dimension
Usando la lógica anterior para el rectángulo, también podemos probar que el número de cuadrados en un cuadrado es n(n+1)(2n+1)/6
A continuación se muestra la implementación de la fórmula anterior.
C++
// C++ program to count squares
// in a rectangle of size m x n
#include<iostream>
using namespace std;
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
swap(m, n);
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return m * (m + 1) * (2 * m + 1) /
6 + (n - m) * m *(m + 1) / 2;
}
// Driver Code
int main()
{
int m = 4, n = 3;
cout << "Count of squares is "
<< countSquares(m, n);
}
C
// C program to count squares
// in a rectangle of size m x n
#include <stdio.h>
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
int countSquares(int m, int n)
{
int temp;
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
temp=n;
n=m;
m=temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return m * (m + 1) * (2 * m + 1) /
6 + (n - m) * m *(m + 1)/ 2;
}
// Driver Code
int main()
{
int m = 4, n = 3;
printf("Count of squares is %d",countSquares(m, n));
}
// This code is contributed by Hemant Jain.
Java
// Java program to count squares
// in a rectangle of size m x n
class GFG
{
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
static int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
// swap(m, n)
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return m * (m + 1) * (2 * m + 1) /
6 + (n - m) * m * (m + 1) / 2;
}
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
int m = 4, n = 3;
System.out.println("Count of squares is " +
countSquares(m, n));
}
}
Python3
# Python3 program to count squares
# in a rectangle of size m x n
# Returns count of all squares
# in a rectangle of size m x n
def countSquares(m, n):
# If n is smaller, swap m and n
if(n < m):
temp = m
m = n
n = temp
# Now n is greater dimension,
# apply formula
return ((m * (m + 1) * (2 * m + 1) /
6 + (n - m) * m * (m + 1) / 2))
# Driver Code
if __name__=='__main__':
m = 4
n = 3
print("Count of squares is "
,countSquares(m, n))
# This code is contributed by mits.
C#
// C# program to count squares in a rectangle
// of size m x n
using System;
class GFG {
// Returns count of all squares in a
// rectangle of size m x n
static int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
// swap(m,n)
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension, apply
// formula
return m * (m + 1) * (2 * m + 1) / 6 +
(n - m) * m * (m + 1) / 2;
}
// Driver method
public static void Main()
{
int m = 4, n = 3;
Console.WriteLine("Count of squares is "
+ countSquares(m, n));
}
}
//This code is contributed by vt_m.
PHP
<?php
// PHP program to count squares
// in a rectangle of size m x n
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
function countSquares($m, $n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if ($n < $m)
list($m, $n) = array($n, $m);
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return $m * ($m + 1) * (2 * $m + 1) /
6 + ($n - $m) * $m * ($m + 1) / 2;
}
// Driver Code
$m = 4; $n = 3;
echo("Count of squares is " . countSquares($m, $n));
// This code is contributed by Ajit.
?>
Javascript
<script>
// javascript program to count squares
// in a rectangle of size m x n
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
function countSquares( m, n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
[m, n] = [n, m];
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return m * (m + 1) * (2 * m + 1) /
6 + (n - m) * m *(m + 1) / 2;
}
// Driver Code
let m = 4;
let n = 3;
document.write("Count of squares is "+countSquares(n, m));
// This code is contributed by jana_sayantan.
</script>
Producción :
Count of Squares is 20
Complejidad del tiempo: O(1)
Espacio Auxiliar: O(1)
Solución alternativa:
- Tomemos m = 2, n = 3;
- El número de cuadrados del lado 1 será 6 ya que habrá dos casos uno como cuadrados de 1 unidad de lado junto con la horizontal(2) y el segundo caso como cuadrados de 1 unidad de lado junto con la vertical(3). que nos dan 2*3 = 6 cuadrados.
- Cuando el lado es de 2 unidades, un caso será como cuadrados del lado de 2 unidades a lo largo de un solo lugar horizontalmente y el segundo caso como dos lugares verticalmente. Entonces, el número de cuadrados = 2
- Entonces podemos deducir que, Número de cuadrados de tamaño 1*1 será m*n. El número de cuadrados de tamaño 2*2 será (n-1)(m-1). De esta manera, el número de cuadrados de tamaño n será 1*(m-n+1).
La fórmula final para el número total de cuadrados será n*(n+1)(3m-n+1)/6 .
C++
// C++ program to count squares
// in a rectangle of size m x n
#include <iostream>
using namespace std;
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m) {
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) / 6;
}
// Driver Code
int main()
{
int m = 4, n = 3;
cout << "Count of squares is " << countSquares(m, n);
}
// This code is contributed by 29AjayKumar
C
// C program to count squares
// in a rectangle of size m x n
#include <stdio.h>
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) / 6;
}
// Driver Code
int main()
{
int m = 4, n = 3;
printf("Count of squares is %d",countSquares(m, n));
}
// This code is contributed by Hemant Jain
Java
// Java program to count squares
// in a rectangle of size m x n
import java.util.*;
class GFG
{
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
static int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) / 6;
}
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
int m = 4;
int n = 3;
System.out.print("Count of squares is " +
countSquares(m, n));
}
}
// This code is contributed by 29AjayKumar
Python3
# Python3 program to count squares
# in a rectangle of size m x n
# Returns count of all squares
# in a rectangle of size m x n
def countSquares(m, n):
# If n is smaller, swap m and n
if(n < m):
temp = m
m = n
n = temp
# Now n is greater dimension,
# apply formula
return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) // 6
# Driver Code
if __name__=='__main__':
m = 4
n = 3
print("Count of squares is",
countSquares(m, n))
# This code is contributed by AnkitRai01
C#
// C# program to count squares
// in a rectangle of size m x n
using System;
class GFG
{
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
static int countSquares(int m, int n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
int temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) / 6;
}
// Driver Code
public static void Main(String[] args)
{
int m = 4;
int n = 3;
Console.Write("Count of squares is " +
countSquares(m, n));
}
}
// This code is contributed by Rajput-Ji
Javascript
<script>
// Javascript program to count squares
// in a rectangle of size m x n
// Returns count of all squares
// in a rectangle of size m x n
function countSquares(m , n)
{
// If n is smaller, swap m and n
if (n < m)
{
var temp = m;
m = n;
n = temp;
}
// Now n is greater dimension,
// apply formula
return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) / 6;
}
// Driver Code
var m = 4;
var n = 3;
document.write("Count of squares is " +
countSquares(m, n));
// This code is contributed by shikhasingrajput
</script>
Producción :
Count of Squares is 20
Complejidad del tiempo: O(1)
Espacio Auxiliar: O(1)
Gracias a Pranav por proporcionar esta solución alternativa.
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Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA