Ejes de coordenadas y planos de coordenadas en el espacio 3D

En un plano, sabemos que necesitamos dos rectas perpendiculares entre sí para ubicar la posición de un punto. Estas líneas se denominan ejes de coordenadas del plano y el plano suele denominarse plano cartesiano. Pero en la vida real, no tenemos ese avión. En la vida real, para localizar objetos necesitamos alguna información extra como la altura. Entonces, ahora necesitamos tres cosas para ubicar un punto en la vida real: x, y, y su altura, que generalmente se denota por z. Estas se llaman coordenadas con respecto al espacio tridimensional.

Ejes de coordenadas y planos de coordenadas

En la figura, podemos ver tres planos que se cortan entre sí. Estos planos son mutuamente perpendiculares entre sí. Las líneas XOX’, Y’OY y Z’OZ representan la intersección de todos los planos entre sí. Estas líneas se denominan eje x, eje y y eje z respectivamente, y forman el sistema de coordenadas rectangulares 3D.

Planos de coordenadas

Los planos XOY, YOZ y ZOX se denominan plano XY, plano YZ y plano ZX, respectivamente. La intersección de todos los planos se llama origen. Estos planos dividen el espacio tridimensional en 8 octantes.

Coordenadas de un punto en el espacio

Se supone que cualquier punto en el espacio 3D tiene tres coordenadas que indican los valores de las coordenadas x, y y z. En la siguiente figura, se nos da un punto A(x, y, z) ubicado en el espacio. Dejamos caer una perpendicular desde A al plano xy hasta el punto M. La longitud de AM nos da el valor de la coordenada z. En la figura, LM y OL nos dan el valor de la coordenada y y x.

Así, para cualquier punto que esté presente en el espacio, existe una tripleta ordenada (x, y, z) que da la posición de ese punto en el espacio.

Las coordenadas del origen son (0, 0, 0). Un punto en el eje x tiene la forma (x, 0, 0), lo mismo ocurre con los puntos en el eje y y el eje z.

Distancia entre dos puntos

Digamos que tenemos dos puntos (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) en el espacio tridimensional. La fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en el espacio tridimensional es similar a la fórmula de Euclides para la distancia que hemos estudiado para el espacio bidimensional. Esta fórmula es una ligera modificación de la fórmula original dada por Euclides.

La distancia entre dos puntos (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) viene dada por,

$\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

Plano

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente. Es un análogo tridimensional a una línea de 2 dimensiones y un punto en un espacio unidimensional. Es difícil dibujar un avión, si estamos escribiendo algo en un papel, también es un avión. Estamos escribiendo en un avión. La siguiente figura muestra un plano en el espacio tridimensional.

Digamos que tenemos un plano, se cruza con el eje x en «a», el eje y en «b» y el eje z en «c». Su ecuación está dada por,

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Esto se llama forma de intersección de la ecuación del plano.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Digamos que tenemos un punto en el eje x, ¿cuál es su coordenada y y su coordenada z?

Solución:

En la figura, el punto se encuentra en el eje x. Se puede notar que sus coordenadas para y y z son iguales a cero.

Pregunta 2: Complete los espacios en blanco:

Los ejes X e Y juntos forman el plano _____.
Todos los planos de coordenadas dividen el espacio 3d en _______ octantes.

Responder:

1. Los ejes X e Y juntos forman el plano XY.

2. Todos los planos de coordenadas dividen el espacio tridimensional en ocho octantes.

Pregunta 3: Calcula la distancia entre (0,0,0) y (5,4,3).

Solución:

Para los puntos (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ )

$\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

Aquí, (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) = (0,0,0) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) = (5,,4,3). Sea la distancia «l»

yo = $\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

= $\sqrt{(5 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (3 - 0)^2}$

= $\sqrt{25 + 16 + 9}$

= $\sqrt{50}$

= 5√2

Pregunta 4: Calcula la distancia entre (0,0,0) y (1,2,3).

Solución:

Para los puntos (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ )

$\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

Aquí, (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) = (0,0,0) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) = (1,2,3). Sea la distancia «l»

yo = $\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

= $\sqrt{1 + 4 + 9}$

= $\sqrt{1 + 9 + 4}$

= $\sqrt{14}$

Pregunta 5: Calcula la distancia entre (1,1,1) y (2,4,3).

Solución:

Para los puntos (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ )

$\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

Aquí, (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) = (1,1,1) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) = (2,4,3). Sea la distancia «l»

yo = $\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + (x_3 - y_3)^2}$

= $\sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 1)^2 + (3 - 1)^2}$

= $\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2}$

= $\sqrt{14}$

Pregunta 6: En la siguiente figura, encuentra la ecuación del plano.

Solución:

Conocemos la forma de intersección de una ecuación de un plano. Digamos que tenemos un plano, se cruza con el eje x en «a», el eje y en «b» y el eje z en «c». Su ecuación está dada por,

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Observe en la figura, a = 5, b = 4 y c = 3

Entonces, la ecuación del plano se convierte en,

$\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1$

= $\frac{12x + 15y + 20z}{60} = 1$

= $12x + 15y + 20z = 60$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA