Demostrar que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico

Demostrar:
Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Grupo cíclico:
Es un grupo generado por un solo elemento, y ese elemento se llama generador de ese grupo cíclico, o un grupo cíclico G es aquel en el que cada elemento es una potencia de un elemento particular g, en el grupo. Es decir, cada elemento de G puede escribirse como g ⁿ para algún entero n para un grupo multiplicativo, o ng para algún entero n para un grupo aditivo. Entonces, g es un generador del grupo G.

Prueba:
Supongamos que G es un grupo cíclico generado por a, es decir, G = {a}.
Si otro grupo H es igual a G o H = {a}, entonces obviamente H es cíclico.
Entonces, sea H un subgrupo propio de G. Por lo tanto, los elementos de H serán las potencias integrales de a.
Si a ^s ∈ H, entonces el inverso de a ^s es decir;

a-s ∈ H

Por lo tanto, H contiene elementos que son potencias integrales positivas y negativas de a.
Ahora, sea m el menor entero positivo tal que

am ∈ H

Entonces probaremos que:

H = { am }

es decir, H es cíclico y es generado por un ^m .
Sea a ^t cualquier elemento arbitrario de H.
Por algoritmo de división, existen números enteros q y r, tales que:

t = mq + r,    0 ≤ r <m.

Ahora,

  am ∈ H 
⇢(am)q ∈ H 
⇢ amq ∈ H
⇢(amq)-1 ∈ H
⇢a-mq  ∈ H.

También,                 

at  ∈ H
a-mq  ∈ H ⇢ at a-mq  ∈ H
⇢ at-mq  ∈ H
⇢ ar  ∈ H.      (Since, r = t- mq)

Ahora m es el entero menos positivo, tal que:

am ∈ H,      0 ≤ r <m.

Por lo tanto, r debe ser igual a 0.
Por lo tanto, 

 t = mq                    

Por lo tanto,

at = amq =(am)q .

Por tanto, todo elemento a ^t ∈ H es de la forma ( a ^m ) ^q .
Por lo tanto, H es cíclico y un ^m es un genero de H.
Por lo tanto, se demuestra que todo subgrupo (en este caso H) de un grupo cíclico (G) es cíclico.