Demostrar que el cuadrado de un entero impar siempre es impar

Este artículo se enfoca en discutir en detalle la prueba de por qué el cuadrado de un número entero impar es siempre un número impar.

Número impar:
Se dice que un número es impar si no es divisible por 2, o si un número puede expresarse como (2k +1), para algún entero k, entonces el número se llama número impar.

Raíz cuadrada :
dados dos números A y B, si A * A = B entonces, A se conoce como la raíz cuadrada de B.

Declaración del problema: 
El cuadrado de un entero impar es siempre un número impar.

Demostración:
Esta sección analiza la demostración del enunciado del problema anterior :

1. Considere un entero impar, X. De acuerdo con la definición anterior, A se puede escribir como-

X = (2k + 1), for some integer k

2. Ahora, elevando al cuadrado ambos lados-

X2 = (2k + 1)2 ---(1)

3. La fórmula para el cuadrado de la suma de 2 números es-

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

4. Usando la propiedad anterior en la ecuación (1)-

X2 = (2k)2 + 4k + 1
X2 = 4k2 + 4k + 1 ---(2) 

5. Ahora, hagamos algunos reordenamientos en la ecuación 2 como- 

X2 = 2(2k2 + 2k) + 1

6. Observe el lado derecho de la ecuación anterior. Como K es un número entero, (2k ² + 2k) también es un número entero. Ahora, supongamos un número entero, m = (2k ² + 2k). La ecuación anterior se puede escribir como-

X2 = (2m + 1), for some integer m

7. A partir de la ecuación anterior y la definición de un entero impar, se puede concluir que X ² también es un entero impar, lo que prueba nuestra afirmación de que el cuadrado de un entero impar siempre es impar.

Ejemplo:
Para X = 3-

1. Ponga el valor X = 3 en las ecuaciones anteriores paso a paso-

X = (2k + 1), for some integer k
3 = (2k + 1), for k = 1 (integer)

2. Ahora, si se toma el cuadrado de X-

X2 = (2k + 1)2
X2 = 4K2 + 4K + 1

3. Una vez más, después de hacer los arreglos, X ² se puede escribir como  :

X2 = 2(2k2 + 2k) + 1
for X = 3,
9 = 2(2k2 + 2k) + 1 

4. Para k = 1, (2k ² + 2k) se evalúa como 4. Sea m= (2k ² + 2k) = 4, es decir

9 = 2m + 1, for m = 4 (integer)  

Ahora, a partir de la definición anterior de un entero impar, se puede decir que 9 es un número impar, lo que implica que el cuadrado de un entero impar (en este caso, 3) siempre es impar. Por lo tanto, Probado.