Derivación de la fórmula del espejo

Un espejo esférico o un espejo que es parte de una esfera es un espejo que tiene la forma de una pieza cortada de una superficie o material esférico. Hay dos tipos de espejos esféricos que son el espejo cóncavo y convexo. La superficie curva que vemos de una cuchara brillante o reluciente puede considerarse como un espejo curvo. El tipo de espejo curvo más ampliamente y comúnmente utilizado son los espejos esféricos. Se considera que la superficie reflectante de tales espejos forma parte de la superficie de cualquier esfera. Los espejos que poseen superficies reflectantes que son esféricas se denominan espejos esféricos.

Términos básicos para espejos esféricos

Hay algunos términos comunes que debemos conocer al estudiar los espejos esféricos, y son los siguientes:

Centro de Curvatura: Se representa con la letra C mayúscula. El punto que está en el centro de la superficie del espejo pasa por la curva del espejo y tiene la misma tangente y curvatura en ese punto.
Radio de Curvatura: Se representa con la letra R mayúscula. El radio de curvatura es el doble de la distancia focal, R = 2f. Se considera como la distancia lineal entre el polo y el centro de curvatura.
Eje principal: Línea imaginaria que pasa por el centro óptico y desde el centro de curvatura de un espejo esférico.
Polo: El punto medio o el punto central del espejo esférico. Se representa con P mayúscula. Todas las medidas se hacen a partir de ella solamente.
Apertura: Una apertura de un espejo es un punto desde el cual el reflejo de la luz realmente tiene lugar o sucede. También da una idea sobre el tamaño del espejo.
Enfoque principal: El enfoque principal también se puede llamar el punto focal. Está presente en el eje de un espejo donde los rayos de luz paralelos al eje principal convergen o parecen converger o divergir después de la reflexión.
Foco: Es cualquier punto dado en el eje principal donde los rayos de luz paralelos al eje principal convergerán o parecerán converger después de ser reflejados por el espejo.

fórmula espejo

Para hacer las sumas relacionadas con los espejos esféricos, la fórmula utilizada se conoce como fórmula del espejo. Se utiliza para calcular la distancia focal, la distancia de la imagen, la distancia del objeto y también el aumento o cualquier otra cosa requerida. Solemos poner primero la fórmula y luego los signos para hacer las sumas y minimizar cualquier error que se pueda generar. Las convenciones de signos que deben seguirse al usar la fórmula del espejo son fijas, por lo que a partir del diagrama anterior podemos colocar fácilmente los signos de acuerdo con el requisito para obtener el resultado requerido.

Por lo general, si el objeto está ubicado en el lado izquierdo del eje principal del espejo, la distancia al objeto se toma como negativa. Mientras que si se encuentra en el lado derecho se toma como positivo. El signo de la distancia focal depende del tipo de espejo que estemos usando, ya que para el espejo cóncavo es negativo y para el espejo convexo en cambio siempre es positivo. Debe mencionarse nuevamente que debemos seguir estrictamente las convenciones de signos para obtener la respuesta correcta.

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Donde u = distancia del objeto

v = distancia de la imagen

f = distancia focal del espejo

Derivación de la fórmula del espejo

La derivación de la fórmula del espejo o fórmula del espejo esférico es una de las fórmulas más comunes en óptica. La fórmula del espejo se puede denominar como la fórmula en la que la relación entre la distancia del objeto representado como ‘u’ y la distancia de la imagen representada como ‘v’, y la distancia focal del espejo dada como ‘f’. La fórmula es aplicable tanto para espejos planos como para espejos esféricos, incluidos espejos convexos y cóncavos. La fórmula del espejo se da como:

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Suposiciones que se hacen para la Derivación de la Fórmula del Espejo:

Se toman las siguientes consideraciones para obtener la fórmula del espejo derivada:

La distancia del objeto y de la imagen se mide desde el polo del espejo.
Según la convención de signos, el signo negativo indica todas las distancias que se miden en la dirección opuesta al rayo incidente, mientras que el signo positivo indica todas las distancias que se miden en la dirección del rayo incidente.
La distancia por debajo del eje se toma como negativa, mientras que la distancia por encima se toma como positiva.

Considere el diagrama que se presenta a continuación:

De la figura anterior, el objeto AB se coloca a una distancia de U de P que se conoce como el polo del espejo. Del diagrama dado también podemos decir que la imagen A ₁ B ₁ se forma en V del espejo.

Ahora, del diagrama, está claro que de acuerdo con la ley de los ángulos verticalmente opuestos, los ángulos opuestos son iguales entre sí. Entonces se puede escribir como:

∠ACB = _∠A 1CB ₁

Similarmente

∠ABC = ∠A ₁ B ₁ C(ÁNGULOS RECTOS)

Ahora, dado que dos ángulos de los triángulos ACB y A1CB1 son iguales y, por lo tanto, el tercer ángulo también es igual y viene dado por,

∠ BAC = ∠ B ₁ A ₁ C, y

AB/A ₁ B ₁ = BC/B ₁ C ……..(1)

De manera similar, el triángulo de FED y FA ₁ B ₁ también son iguales y similares, por lo tanto

ED/A ₁ B ₁ = EF/FB ₁

También como ED es igual a AB, entonces tenemos,

AB/A ₁ B ₁ = EF/FB ₁ ………(2)

sumando 1 y 2 obtenemos

BC/B ₁ C = EF/FB ₁

Considere que el punto D está muy cerca de P y entonces EF= PF, por lo tanto

BC/B ₁ C = PF/FB ₁

Del diagrama anterior BC = PC – PB y B ₁ C = PB ₁ – PC y FB ₁ = PB ₁ – PF

(0PC- PB)/(PB ₁ -PC) = (PF)/(PB ₁ -PF)

Ahora sustituyendo los valores de los segmentos anteriores junto con el signo dado que tenemos,

PC = -R

PB = tu

PB1 = -v

FP = -f

Entonces la ecuación anterior ahora se convierte en,

$\frac{-R-(-u)}{-v-(-R)}=\frac{-f}{-v-(-f)}$

$\frac{u-R}{R-v}=\frac{-f}{f-v}$

$\frac{u-R}{R-v}=\frac{f}{v-f}$

Resolviéndolo tenemos,

uv-uf – Rv + Rf = Rf – vf

uv – uf – Rv + vf = 0

Como R = 2f (el radio de curvatura es el doble de la distancia focal), por lo tanto

uv – uf – 2fv + vf = 0

uv – uf – vf = 0

Resolviéndolo aún más y también dividiendo con «uv» obtenemos,

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

que es la fórmula del espejo requerida.

Convención de signos para espejo esférico

Problemas de muestra

Pregunta 1: ¿Cuál es la distancia de la imagen en el caso de un espejo cóncavo si la distancia del objeto es de 4 cm? Se sabe que la distancia focal del espejo es de 2 cm.

Solución:

Como sabemos por la fórmula del espejo,

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Donde u= distancia del objeto= -4cm

v= distancia de la imagen=?

f= distancia focal del espejo= -2cm

Poniendo valores obtenemos

$\frac{1}{v} + \frac{1}{-4} = \frac{1}{-2}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{-2}-\frac{1}{-4}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{-2}+\frac{1}{4}$

$\frac{1}{v} = \frac{-2}{4}+\frac{1}{4}$

$\frac{1}{v} = \frac{-1}{4}$

v = -4cm

Por lo tanto, el objeto está ubicado a 4 cm frente al espejo.

Pregunta 2: ¿Cuál es la distancia de la imagen en el caso de un espejo convexo si la distancia del objeto es de 12 cm? Se sabe que la distancia focal del espejo es de 12 cm.

Solución:

Como sabemos por la fórmula del espejo,

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Donde u= distancia del objeto= -12cm

v= distancia de la imagen=?

f= distancia focal del espejo= 12cm

Poniendo valores obtenemos

$\frac{1}{v} + \frac{1}{-12} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{12}-\frac{1}{-12}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{12}+\frac{1}{12}$

$\frac{1}{v} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{6}$

v = 6 cm

Por lo tanto, la imagen se encuentra a 6 cm detrás del espejo.

Pregunta 3: ¿Cuál es la distancia de la imagen en el caso de un espejo cóncavo si la distancia del objeto es de 30 cm? Se sabe que la distancia focal del espejo es de 30 cm.

Solución:

Como sabemos por la fórmula del espejo,

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Donde u= distancia del objeto= -30cm

v = distancia de la imagen =?

f = distancia focal del espejo = -30cm

Poniendo valores obtenemos

$\frac{1}{v} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{-30}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{-30}-\frac{1}{-30}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{-30}+\frac{1}{30}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{0}$

$\frac{1}{v} = 0$

Por lo tanto, v = infinito

Por lo tanto, la imagen se formará en el infinito.

Pregunta 4: Averigüe la distancia focal con signo en el caso de un espejo cóncavo con un radio de curvatura de 20 cm.

Solución:

Como sabemos que R = 2f

Donde R= radio de curvatura del espejo cóncavo, f= distancia focal del espejo cóncavo

R = 2f

$\therefore f=\frac{R}{2}$

$\therefore f=\frac {20cm}{2}$

f= -10cm (negativo indica que es un espejo cóncavo.)

Por lo tanto, la distancia focal del espejo cóncavo es de 10 cm.

Pregunta 5: ¿Cuál es la distancia de la imagen en el caso de un espejo cóncavo si la distancia del objeto es de 16 cm? Se sabe que la distancia focal del espejo es de 8 cm.

Solución:

Como sabemos por la fórmula del espejo,

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Donde u= distancia del objeto= -16cm

v= distancia de la imagen=?

f= distancia focal del espejo= -8cm

Poniendo valores obtenemos

$\frac{1}{v} + \frac{1}{-16} = \frac{1}{-8}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{-8}-\frac{1}{-16}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{-8}+\frac{1}{16}$

$\frac{1}{v} = \frac{-2}{16}+\frac{1}{16}$

$\frac{1}{v} = \frac{-1}{16}$

v= -16cm

Por lo tanto, el objeto está ubicado a 16 cm frente al espejo.

Pregunta 6: ¿Cuál es la distancia de la imagen en el caso de un espejo convexo si la distancia del objeto es de 16 cm? Se sabe que la distancia focal del espejo es de 16 cm .

Solución:

Como sabemos por la fórmula del espejo,

$\frac{1} {v} + \frac{1} {u} = \frac{1} {f}$

Donde u= distancia del objeto= -16cm

v= distancia de la imagen=?

f= distancia focal del espejo= +16cm

Poniendo valores obtenemos

$\frac{1}{v} + \frac{1}{-16} = \frac{1}{16}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{16}-\frac{1}{-16}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{16}+\frac{1}{16}$

$\frac{1}{v} = \frac{2}{16}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{8}$

v = 8 cm

Por lo tanto, la imagen se encuentra a 8 cm detrás del espejo.