Derivadas de funciones inversas

En matemáticas, se dice que una función (p. ej., f) es inversa de otra (p. ej., g), si la salida de g devuelve el valor de entrada dado a f. Además, esto debe ser cierto para cada elemento en el codominio de dominio (rango) de g. Por ejemplo, suponiendo que x e y son constantes si g(x) = y y f(y) = x, entonces se dice que la función f es inversa de la función g. O dicho de otro modo, si una función f : A ⇢ B es función uno – uno y sobre o función biyectiva, entonces una función definida por g : B ⇢ A se conoce como inversa de la función f. La función inversa también se conoce como función anti. El inverso de la función se denota por f ^-1 .

f(g(x)) = g(f(x)) = x

Aquí, f y g son funciones inversas.

Procedimiento de encontrar la inversa de f:

Verifique la función uno-uno y sobre.
Si es invertible entonces, intercambie xey en la definición de f(x).
Encuentre y en términos de x.
Obtenida y es inversa de f definida de B ⇢ A.

Ejemplo: f(x) = e ^x

y = e ^x

La inversa de f(x) se obtendrá por y ↔ x

x = e ^y

y = ln x

Ahora, e ^x y ln x son funciones inversas entre sí.

Las funciones inversas e ^x y ln x son simétricas respecto a y = x.

Derivadas de funciones inversas

Como ya sabemos que es la función inversa, ahora vamos a encontrar la derivada de la función inversa. Entonces, si una función f(x) es una función biyectiva continua o función biyectiva definida en un intervalo para no decir I, entonces su inversa también es continua y si la función f(x) es una función derivable, entonces su la inversa también es una función diferenciable.

g'(x) = $\mathbf{\frac{1}{f'(g(x))}}$

Aquí, f y g son funciones inversas. Se conoce como teorema de la función inversa.

Prueba:

Consideremos que f y g son las funciones inversas y x está presente en el dominio g, entonces

f(g(x)) = x

Diferenciar ambos lados con respecto a x

$\frac{df(g(x))}{x} = \frac{d(x)}{dx}$

Ahora resuelva el LHS usando la regla de la string obtenemos

f'(g(x))g'(x) = 1

Ahora resuelve para g'(x):

g'(x) = ${\frac{1}{f'(g(x))}}$

Por lo tanto, se resuelve la derivada de la función inversa.

Ejemplo 1: f(x) = e ^x , verifique si la condición se cumple.
Solución:

Como, f(x) = ex

y = e ^x

x = ln y

g(x) = f ^-1 (x) = ln x

Ahora,

f'(x) = $\frac{d}{dx}$ (e ^x ) = e ^x

g'(x) = $\frac{d}{dx}$ (lnx) = $\frac{1}{x}$

g'(f(x)) = $\frac{1}{e^x}$

$\frac{1}{g'(f(x))} = \frac{1}{\frac{1}{e^x}}$ = e ^x

Por eso,

f'(x) = $\frac{1}{g'(f(x))}$ , se cumple.

Ejemplo 2: Sea f(x) = $\frac{1}{2}$ x ³ + 3x – 4, y sea g la función inversa de f donde f(-2) = -14. Encuentre g'(-14)

Solución:

f'(x) = $\frac{1}{2}$ (3x ² ) + 3

De acuerdo con la ecuación (1).

$g'(x) = \mathbf{\frac{1}{f'(g(x))}}$

Como, f(x) = g ^-1 (x) y f(-2) = -14

entonces g(-14) = -2

x = -14

g'(-14) = $\frac{1}{f'(g(-14))}$

g'(-14) = $\frac{1}{f'(-2)}$

f'(-2) = $\frac{1}{2}$ (3(-2) ² ) + 3

f'(-2) = $\frac{12}{2}$ + 3

f'(-2) = 9

entonces, g'(-14) = $\frac{1}{9}$

¿Cómo encontrar derivadas de funciones inversas de la tabla?

Analicemos este concepto con la ayuda de un ejemplo. Así que supongamos que g y f son la función inversa y la siguiente tabla enumera algunos valores de f, g y f’.

X	f(x)	g(x)	f'(x)
2	4	8	$\frac{-1}{6}$
8	3	2	$\frac{1}{2}$

Tenemos que encontrar g'(2). Como se dijo de la pregunta, que f y g sean funciones inversas. Esto significa que si tenemos dos conjuntos, supongamos ahora que el primer conjunto es el dominio de f. Entonces, en este conjunto, si comenzamos con algún valor de x, entonces f asignará ese x a otro valor que se conoce como f (x) (este es el uso de la función f). Ahora, como sabemos que g es la inversa de f, entonces esta g nos lleva de vuelta al primer conjunto (este es el uso de la función g).

Por lo tanto, obtenemos

g(f(x)) = x …(yo)

f(g(x)) = x …(ii)

Donde, ambos son válidos.

De la ecuación (ii), tenemos

f(g(x)) = x

Ahora diferencie ambos lados wrtx obtenemos

$\frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{d(x)}{dx}$

Ahora en el LHS aplicamos la regla de la string, ahora obtenemos

f'(g(x))g'(x) = 1

g'(x) = $\mathbf{\frac{1}{f'(g(x))}}$

Ahora vamos a encontrar el valor de g'(2)

g'(2) = $\frac{1}{f'(g(2))}$

De la tabla obtenemos el valor de g(2)

g'(2) = $\frac{1}{f'(8)}$

De la tabla obtenemos el valor de f'(8)

g'(2) = $\frac{1}{\frac{1}{2}}$

g'(2) = 2

Por tanto, el valor de g'(2) = 2.

¿Cómo encontrar las derivadas de funciones trigonométricas inversas?

Observamos que las funciones trigonométricas inversas son funciones continuas. Ahora usamos los primeros principios y la regla de la string para encontrar las derivadas de estas funciones:

1. Derivada de f dada por f(x) = sen ^–1 x.

Del primer principio

f(x) = sen ^–1 x y f(x+h) = sen ^–1 (x+h)

$\frac{d}{dx}(f(x)) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to0} \frac{sin^{-1}(x+h)-sin^{-1}x}{h}\\ = \lim_{h\to0} \frac{sin^{-1}[(x+h)\sqrt{1-x^2} - x\sqrt{1-(x+h)^2}]}{h}$

Usando la fórmula,

sen ^–1 x – sen ^–1 y = sen-1(x $\sqrt{1-y^2}$ – y $\sqrt{1-x^2}$ )

$= \lim_{h\to0} \frac{sin^{-1}[(x+h)\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-(x+h)^2}]}{(x+h)\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-(x+h)^2}} \times \frac{(x+h)\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-(x+h)^2}}{h}$

Como

$\lim_{x\to0} (\frac{sin^{-1}x}{x}) = 1 \\ So, \\ = \lim_{h\to0} 1. \frac{(x+h)\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-(x+h)^2}}{h} \\ = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^2(1-x^2)-x^2(1-(x+h)^2)}{h} \times \frac{1}{(x+h)\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-(x+h)^2}}\\ = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \times \frac{1}{(x+h)\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-(x+h)^2}}\\ = \lim_{h\to0} (2x+h) \times \frac{1}{(x+h)\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-(x+h)^2}}\\ = \frac{(2x)}{2x \sqrt{1-x^2}}\\ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Por eso

$\frac{d}{dx} (sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

De la regla de la string

y = sen ^-1 x

sen y = x

Derivando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}(sin \hspace{0.1cm}y) = 1 \\ \frac{d}{dx}(sin \hspace{0.1cm}y) \times \frac{dy}{dx} = 1\\ \cos\hspace{0.1cm}y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos\hspace{0.1cm}y}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-sin^2\hspace{0.1cm}y}}$

Como

$\sin\hspace{0.1cm}y = x \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\$

2. Derivada de f dada por f(x) = cos ^–1 x.

Del primer principio

f(x) = cos ^–1 x y f(x+h) = cos ^–1 (x+h)

$\frac{d}{dx}(f(x)) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to0} \frac{cos^{-1}(x+h)-cos^{-1}x}{h}\\ = \lim_{h\to0} \frac{(\frac{\pi}{2}-sin^{-1}(x+h))-(\frac{\pi}{2}-sin^{-1}x)}{h}$

Como

$cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1} x \\ = - \lim_{h\to0} \frac{sin^{-1}(x+h)-sin^{-1}x)}{h}$

$= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Por eso,

$\frac{d}{dx} (cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

De la regla de la string

y = cos ^-1 x

porque y = x

Derivando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}(cos \hspace{0.1cm}y) = 1 \\ \frac{d}{dx}(cos \hspace{0.1cm}y) \times \frac{dy}{dx} = 1\\ -sin\hspace{0.1cm}y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{sin\hspace{0.1cm}y}\\ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-cos^2\hspace{0.1cm}y}}$

Como

$cos\hspace{0.1cm}y = x \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\$

3. Derivada de f dada por f(x) = tan ^–1 x.

Del primer principio

f(x) = tan ^–1 x y f(x+h) = tan ^–1 (x+h)

$\frac{d}{dx}(f(x)) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to0} \frac{tan^{-1}(x+h)-tan^{-1}x}{h}$

Como

$tan^{-1} x - tan^{-1}y = tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy}) \\ = \lim_{h\to0} \frac{tan^{-1}(\frac{x+h-x}{1+x(x+h)})}{h}\\ = \lim_{h\to0} \frac{tan^{-1}(\frac{h}{1+x^2+xh})}{\frac{h}{1+x^2+xh}} \times \frac{1}{1+x^2+xh}\\ = 1. \frac{1}{1+x^2}$

Por eso

$\frac{d}{dx} (tan^{-1}x)= \frac{1}{1+x^2}$

De la regla de la string

y = bronceado ^-1 x

bronceado y = x

Derivando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}(tan \hspace{0.1cm}y) = 1 \\ \frac{d}{dx}(tan \hspace{0.1cm}y) \times \frac{dy}{dx} = 1\\ sec^2\hspace{0.1cm}y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{sec^2\hspace{0.1cm}y}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+tan^2\hspace{0.1cm}y}$

Como

tan y = x dy/dx = 1/1+x ²

4. Derivada de f dada por f(x) = cot ^–1 x.

Del primer principio

f(x) = cuna ^–1 x y f(x+h) = cuna ^–1 (x+h)

$\frac{d}{dx}(f(x)) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to0} \frac{cot^{-1}(x+h)-cot^{-1}x}{h}$

Como

$cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - tan^{-1}x\\ = \lim_{h\to0} \frac{(\frac{\pi}{2} - tan^{-1}(x+h))-(\frac{\pi}{2} - tan^{-1}x)}{h}\\ = - \lim_{h\to0} \frac{tan^{-1}(x+h)-tan^{-1}x}{h}$

$= - \frac{1}{1+x^2}$

Por eso

$\frac{d}{dx} (cot^{-1}x)= \frac{-1}{1+x^2}$

De la regla de la string

y = cuna ^-1 x

cuna y = x

Derivando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}(cot \hspace{0.1cm}y) = 1 \\ \frac{d}{dx}(cot \hspace{0.1cm}y) \times \frac{dy}{dx} = 1\\ -cosec^2\hspace{0.1cm}y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{cosec^2\hspace{0.1cm}y}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1+cot^2\hspace{0.1cm}y}$

Como

cuna y = x dy/dx = -1/1 + x ²

5. Derivada de f dada por f(x) = sec ^–1 x.

De la regla de la string

y = seg ^-1 x

segundo y = x

Derivando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}(sec \hspace{0.1cm}y) = 1 \\ \frac{d}{dx}(sec \hspace{0.1cm}y) \times \frac{dy}{dx} = 1\\ sec\hspace{0.1cm}y \hspace{0.1cm}tan\hspace{0.1cm}y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{sec\hspace{0.1cm}y \hspace{0.1cm}tan\hspace{0.1cm}y}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|sec\hspace{0.1cm}y| \hspace{0.1cm}|tan\hspace{0.1cm}y|}\\$

Si x > 1, entonces y ∈ (0, π/2)

∴ sec y > 0, tan y > 0 ⇒ |sec y||tan y| = seg y tan y

Si x < -1, entonces y ∈ (π/2,π)

∴ seg y < 0, tan y < 0 ⇒ |seg y||tan y| = (-seg y) (-tan y) = sec y tan y

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|sec \hspace{0.1cm}y| \sqrt{tan^2y}}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|sec \hspace{0.1cm}y| \sqrt{1-sec^2y}}$

Como

segundo y = x

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\$

6. Derivada de f dada por f(x) = cosec ^–1 x.

De la regla de la string

y = cosec ^-1 x

cosec y = x

Derivando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}(cosec \hspace{0.1cm}y) = 1 \\ \frac{d}{dx}(cosec \hspace{0.1cm}y) \times \frac{dy}{dx} = 1\\ -cosec\hspace{0.1cm}y \hspace{0.1cm}cot\hspace{0.1cm}y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-cosec\hspace{0.1cm}y \hspace{0.1cm}cot\hspace{0.1cm}y}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|cosec\hspace{0.1cm}y| \hspace{0.1cm}|cot\hspace{0.1cm}y|}\\$

Si x > 1, entonces y ∈ (0, π/2)

∴ cosec y > 0, cot y > 0 ⇒ |cosec y||cot y| = cosec y cot y

Si x < -1, entonces y∈ (-π/2, 0)

∴ cosec y < 0, cot y < 0 ⇒ |cosec y||cot y| = (-cosec y) (-cot y)

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|cosec \hspace{0.1cm}y| \sqrt{cot^2y}}\\ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|cosec \hspace{0.1cm}y| \sqrt{cosec^2y-1}}$

Como

cosec y = x

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\$

Ejemplos:

Pregunta 1. Encuentra la derivada de y = tan ^-1 (x ² ).

Solución:

Diferenciando ambos lados, obtenemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^{-1} (x^2))}{dx}$

Usando la derivada inversa de tan ^-1 θ

= $\frac{1}{1+(x^2)^2} \frac{d (x^2)}{dx}$

= $\frac{2x}{1+x^4}$

Pregunta 2. Encuentra la derivada de y = sen ^-1 (3x-2).

Solución:

Diferenciando ambos lados, obtenemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{d (sin^{ -1} (3x-2))}{dx}$

Usando la derivada inversa de sin ^-1 θ

= $\frac{1}{\sqrt{1-(3x-2)^2}} \frac{d(3x-2)}{dx}$

= $\frac{1}{\sqrt{1-(9x^2-18x+4)}}$ (3)

= $\frac{3}{\sqrt{(18x-9x^2-4)}}$

Pregunta 3. Encuentra la derivada de y = cos ^-1 (1 – x ² ).

Solución:

Diferenciando ambos lados, obtenemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(cos^{ -1} (1 - x^2))}{dx}$

Usando la derivada inversa de cos ^-1 θ

= $\frac{-1}{\sqrt{1-(1-x^2)^2}} \frac{d(1-x^2)}{dx}$

= $\frac{-1}{\sqrt{1-(1-2x^2+x^4)}}$ (-2x)

= $\frac{2x}{\sqrt{(2x^2-x^4)}}$

= $\frac{2}{\sqrt{(2-x^2)}}$