El movimiento oscilatorio tiene un papel importante que desempeñar en el mundo de la física. Se dice que los movimientos oscilatorios son armónicos si el desplazamiento del cuerpo oscilatorio se puede expresar como una función del seno o coseno de un ángulo dependiendo del tiempo. En las oscilaciones armónicas, los límites de las oscilaciones a ambos lados de la posición media pueden o no ser los mismos. El movimiento armónico simple es un tipo especial de movimiento armónico en el que los límites de oscilación a ambos lados de la posición media son los mismos.
Términos relacionados con el movimiento armónico simple:
1. Desplazamiento (x): El desplazamiento de un cuerpo que ejecuta Movimiento Armónico Simple se define como la distancia neta recorrida por el cuerpo desde su posición media o de equilibrio.
x = A cos(ωt)
Considerando la proyección diametral de un cuerpo que gira en una trayectoria circular. A es la amplitud, es decir, el desplazamiento máximo desde la posición media, ω es la velocidad angular del cuerpo que gira en la trayectoria circular, t es el tiempo. Su unidad SI es el metro (m).
2. Amplitud (A): El desplazamiento máximo del cuerpo que experimenta un movimiento armónico simple desde la posición media o de equilibrio se denomina amplitud de oscilación.
3. Velocidad (v): La velocidad en cualquier instante se define como la tasa de cambio del desplazamiento con el tiempo.
v = dx/dt
Para un cuerpo que ejecuta SHM, su velocidad es máxima en la posición de equilibrio y mínima (cero) en las posiciones extremas donde el valor del desplazamiento es máximo, es decir, en x = A. Es un vector, por lo que es importante mencionar tanto su valor como dirección para una explicación completa. La velocidad del cuerpo es inversamente proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo, el desplazamiento desde la posición media y la aceleración del cuerpo. Su unidad SI es m/s.
4. Aceleración (a): La aceleración se define como la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. La aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y la fuerza. Es máximo en las posiciones extremas donde el desplazamiento es máximo (x = A) y mínimo en la posición media (x = 0). La unidad SI de aceleración es m/s 2 .
5. Fuerza de restauración (F R ): Fuerza de restauración es la fuerza que siempre actúa en una dirección opuesta a la del desplazamiento desde la posición media pero es directamente proporcional a ella. La fuerza de restauración es máxima en las posiciones extremas y mínima en la posición media.
FR = -kx
donde k es la constante del resorte y x es el desplazamiento desde la posición media. La unidad SI de Fuerza es N o Kg m/s 2 .
6. Constante de resorte (k): la constante de resorte o constante de fuerza es una constante determinista de un resorte que determina la rigidez del resorte. Es la cantidad de trabajo realizado para estirar o comprimir el resorte por unidad de longitud. Si la constante elástica de un resorte es de 100 N/m, significa que se requieren 100 N de fuerza para estirar o comprimir el resorte en 1 m. La unidad SI de la constante de resorte es N/m.
7. Energía (E): La energía total del cuerpo bajo SHM se llama energía mecánica, la energía mecánica del cuerpo permanece constante durante todo el movimiento si el medio no tiene fricción. La energía mecánica de un cuerpo en cualquier instante es la suma total de su energía cinética y potencial. La energía cinética de un cuerpo se debe a su velocidad y viene dada por,
K = (1/2) × m × v 2
donde m es la masa del cuerpo y v es la velocidad.
Sin embargo, la Energía Potencial de un cuerpo es en virtud de su posición y viene dada por,
U = (1/2) × k × x 2
donde k es la constante del resorte y x es el desplazamiento desde la posición media. Por lo tanto, la Unidad SI de Energía es kg m 2 /s 2 o Joule.
8. Período de tiempo (T): El período de tiempo de oscilación se define como el tiempo que tarda el cuerpo en completar una oscilación completa.
En otras palabras, es el tiempo que se tarda en cubrir 4 veces la amplitud. La unidad SI de Período de tiempo es segundos (s).
En el caso de un péndulo simple, la fórmula para el período de tiempo está dada por,
T = 2π × √(l/g)
donde T es el Período de tiempo de oscilación, l es la longitud de la cuerda o hilo yg es la aceleración debida a la gravedad.
9. Frecuencia (f): La frecuencia se define como el número total de oscilaciones que realiza el cuerpo en un segundo. Si la frecuencia del cuerpo es de 10 Hz, significa que el cuerpo completa 10 oscilaciones completas en 1 segundo. Matemáticamente, se define como el recíproco del período de tiempo, es decir
f = (1/T)
Por lo tanto, la unidad SI de frecuencia es Hz o s -1
¿Qué es el Movimiento Armónico Simple (MAS)?
Se dice que el movimiento de un cuerpo es armónico simple si la velocidad del cuerpo en cualquier instante es inversamente proporcional al desplazamiento desde la posición media. O, en otras palabras, se dice que el movimiento de un cuerpo es armónico simple si la fuerza restauradora que actúa sobre el cuerpo o la aceleración del cuerpo en cualquier instante es directamente proporcional al desplazamiento desde la posición media y actúa en dirección opuesta a la del desplazamiento.
SHM es un tipo especial de movimiento oscilatorio en el que la fuerza de restauración es directamente proporcional y de dirección opuesta al desplazamiento desde la posición media.
Movimiento armónico simple
Derivación de la ecuación para Desplazamiento en SHM
El movimiento de un cuerpo que se mueve en un círculo con velocidad constante se llama movimiento circular uniforme. Si consideramos el movimiento lateral del cuerpo, parece como si el cuerpo se moviera en línea recta (a lo largo del diámetro). Este movimiento de vaivén del cuerpo a lo largo del diámetro se llama movimiento armónico simple.
Movimiento circular uniforme de un cuerpo.
Considerando el diagrama anterior, el movimiento del cuerpo a lo largo del diámetro (QR) es MAS. ‘O’ es el centro del círculo ya su vez la posición de equilibrio del sistema en SHM. x es el desplazamiento desde la posición media. ‘θ’ es el desplazamiento angular.
Ya que, cos (θ) = (Base / Hipotenusa)
Esto implica,
cos (θ) = x / AO
donde AO es el radio y es igual al desplazamiento máximo desde la posición media, es decir, la amplitud (A).
Asi que,
cos (θ) = x / A
x = A cos (θ) ……(1)
que es la ecuación de desplazamiento desde la posición media.
Pero como el desplazamiento angular es el producto de la velocidad angular y el tiempo que tarda la partícula.
Por lo tanto,
θ = ω t
donde ω es la velocidad angular y t es el tiempo que tarda la partícula.
Ahora, la ecuación (1) se puede escribir como:
x = A cos (ω t) ……(2)
Además, ω = 2πf donde f es la frecuencia de la partícula.
Por eso,
x = A cos (2πf t) ……(3)
que es la ecuación de desplazamiento de un cuerpo bajo MAS. El desplazamiento máximo de un cuerpo bajo SHM se llama amplitud y se denota por ‘A’. Con la ayuda de la ecuación anterior (ecuación de movimiento o ecuación de desplazamiento), también podemos encontrar la ecuación para la velocidad y la aceleración.
Problemas de muestra
Problema 1: considerando un cuerpo que ejecuta un movimiento armónico simple, encuentre la ecuación del período de tiempo en términos de desplazamiento.
Solución:
Teniendo en cuenta el siguiente diagrama para SHM,
Movimiento armónico simple
V = (2 × π × R) / T
donde T es el período de tiempo.
o
V = (2 × π × A) / T ……(1)
Aquí V = V máx .
(V es la velocidad del cuerpo que se mueve en movimiento circular y Vmax es la velocidad máxima del cuerpo que se mueve en MAS a lo largo del diámetro del círculo )
V máx = √(k/m) × A ……(2)
Poniendo el valor de V max en la ecuación (1) como,
√(k/m) × A = (2 × π × A) / T
T = 2 × π × √(m / k)
Ahora, k = F R / x, F R es la fuerza restauradora que actúa sobre el cuerpo en un desplazamiento de x unidades desde la posición media.
T = 2 × π × √((m × x) / F R )
Problema 2: Derive la ecuación para la velocidad instantánea de un cuerpo que ejecuta Movimiento Armónico Simple.
Solución:
Ya que se sabe que:
Energía Total = Energía Cinética + Energía Potencial.
(1/2) × k × A 2 = (1/2) × m × v 2 + (1/2) × k × x 2
donde k es la constante del resorte, m es la masa, x es el desplazamiento y v es la velocidad.
K × UN 2 = metro × v 2 + k × x 2
v = √((K × A 2 – k × x 2 ) / m)
= √(k / m) × A × √(1 – (x 2 / A 2 ))
donde √(k/m) × A es la velocidad máxima.
= v máx × √(1 – (x 2 / A 2 ))
Problema 3: Calcular la relación entre el desplazamiento y la amplitud cuando la energía cinética de un cuerpo es el doble de su energía potencial.
Solución:
Sabemos,
K = 1/2 × m × v 2
U = 1/2 × k × x 2
Dado que, K = 2 × U
(1/2) × m × v 2 = 2 × (1/2) × k × x 2 ……(1)
La velocidad instantánea está dada por,
v = √(k / m) * A * √(1 – (x 2 / A 2 ))
donde √(k/m) × A es la velocidad máxima.
Poniendo el valor de v en la ecuación (1) obtenemos,
A 2 – x 2 = 2 × x 2
A 2 = 3 × x 2
x / A = 1 / √3
o
X : UN = 1 : √3
Problema 4: La fuerza que actúa sobre un cuerpo bajo SHM es de 200 N. Si la constante del resorte es de 50 N/m. Encuentre el desplazamiento desde la posición media.
Solución:
La fórmula para calcular la fuerza restauradora es,
F R = -k × x
Sustituyendo los valores dados en la ecuación anterior como,
200 N = -(50 × x)
Esto implica,
x = -4 metros
donde el signo negativo indica que la fuerza y el desplazamiento son de dirección opuesta.
Problema 5: Obtenga una expresión para la cantidad de trabajo realizado o la energía potencial de un cuerpo que ejecuta MAS.
Solución:
Dado que el trabajo realizado se define como,
Trabajo realizado = Fuerza × Desplazamiento
Pero la fórmula no se puede usar directamente para encontrar el trabajo realizado o la energía potencial porque la fuerza que actúa sobre un cuerpo
bajo SHM no es constante. La fuerza es una función de x, F R = -kx.
La fórmula para el trabajo realizado en el caso de SHM:
W = (1/2) × k × x 2 [Para el sistema masa-resorte, donde k es la constante del resorte y x es el desplazamiento desde la posición media.]
Para fuerza variable,
W = ∫ F dx
W = ∫ kx dx [F = kx]
ancho = (1/2) × k × x 2
Esta es la fórmula para el trabajo realizado o la energía potencial del sistema masa-resorte denotado por U.
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Artículo escrito por priyanshusingh241202 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA