Diferencia entre el método de bisección y el método Regula Falsi

El método de bisección se usa para encontrar las raíces de ecuaciones de ecuaciones no lineales de la forma f(x) = 0 y se basa en la aplicación repetida de la propiedad del valor intermedio. Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [x1,x2], si f(x1), f(x2) son de signos opuestos, entonces existe al menos una raíz α en el intervalo (x1,x2), tal que f(α) = 0.

Fórmula

X2= (X0 + X1) / 2

Ejemplo

Problema: Encuentra la raíz de una ecuación f(x)=x3-x-1 

Solución:

Dada la ecuación f(x)=x3-x-1

sea ​​x = 0, 1, 2

En la 1ra iteración:

f(1)=-1<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1 y 2

x0=1+2/2 = 1,5

f(x0)=f(1.5)=0.875>0

En la 2ª iteración:

f(1)=-1<0 y f(1.5)=0.875>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1 y 1.5

x1=1+1,5/2 =1,25

f(x1)=f(1.25)=-0.29688<0

En la 3ra iteración:

f(1,25)=-0,29688<0 y f(1,5)=0,875>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.25 y 1.5

x2=1,25+1,5/2 = 1,375

f(x2)=f(1.375)=0.22461>0

En la cuarta iteración:

f(1,25)=-0,29688<0 y f(1,375)=0,22461>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.25 y 1.375

x3=1,25+1,375/2=1,3125

f(x3)=f(1.3125)=-0.05151<0

En la quinta iteración:

f(1,3125)=-0,05151<0 y f(1,375)=0,22461>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.3125 y 1.375

x4=1,3125+1,375/2=1,34375

f(x4)=f(1.34375)=0.08261>0

En la 6ª iteración:

f(1,3125)=-0,05151<0 yf(1,34375)=0,08261>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.3125 y 1.34375

x5=1,3125+1,34375/2=1,32812

f(x5)=f(1.32812)=0.01458>0

En la séptima iteración:

f(1,3125)=-0,05151<0 yf(1,32812)=0,01458>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.3125 y 1.32812

x6=1,3125+1,32812/2 =1,32031

f(x6)=f(1.32031)=-0.01871<0

En la octava iteración:

f(1,32031)=-0,01871<0 y f(1,32812)=0,01458>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32031 y 1.32812

x7=1,32031+1,32812/2=1,32422

f(x7)=f(1.32422)=-0.00213<0

En la novena iteración:

 f(1,32422)=-0,00213<0 y f(1,32812)=0,01458>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32422 y 1.32812

x8=1,32422+1,32812/2=1,32617

f(x8)=f(1.32617)=0.00621>0

En la décima iteración:

f(1,32422)=-0,00213<0 yf(1,32617)=0,00621>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32422 y 1.32617

x9=1,32422+1,32617/2=1,3252

f(x9)=f(1.3252)=0.00204>0

En la 11ª iteración:

f(1,32422)=-0,00213<0 yf(1,3252)=0,00204>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos 1.32422 y 1.3252

x10=1,32422+1,3252/2=1,32471

f(x10)=f(1.32471)=-0.00005<0

La raíz aproximada de la ecuación x3-x-1=0 usando el método de Bisección es 1.32471

Método Regula Falsi:

Regula Falsi es uno de los métodos más antiguos para encontrar la raíz real de una ecuación f(x) = 0 y se parece mucho al método de bisección. Requiere menos esfuerzo computacional ya que necesitamos evaluar solo una función por iteración.

Fórmula

X3 = X1(fX2) - X2(fX1)/ f(X2) -f(X1)

Ejemplo

Problema: Encuentra la raíz de una ecuación f(x)=x3-x-1 

Solución:

Ecuación dada, x3-x-1=0

sea ​​x = 0, 1, 2

En la 1ra iteración:

 f(1)=-1<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1 y x1=2

x2=x0-f(x0)

= x1-x0

f(x1)-f(x0)

 x2=1-(-1)⋅

= 2-1

= 5-(-1)

 x2=1.16667

f(x2)=f(1.16667)=-0.5787<0

En la 2ª iteración:

 f(1.16667)=-0.5787<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1.16667 y x1=2

x3=x0-f(x0)

x1-x0

f(x1)-f(x0)

x3=1.16667-(-0.5787)

2-1.16667

5-(-0.5787)

x3=1.25311

f(x3)=f(1.25311)=-0.28536<0

En la 3ra iteración:

 f(1.25311)=-0.28536<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1.25311 y x1=2

x4=x0-f(x0)⋅

x1-x0

f(x1)-f(x0)

x4=1.25311-(-0.28536)⋅

2-1.25311

5-(-0.28536)

x4=1.29344

f(x4)=f(1.29344)=-0.12954<0

En la cuarta iteración:

f(1.29344)=-0.12954<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1.29344 y x1=2

x5=x0-f(x0)⋅

x1-x0

f(x1)-f(x0)

x5=1.29344-(-0.12954)⋅

2-1.29344

5-(-0.12954)

x5=1.31128

f(x5)=f(1.31128)=-0.05659<0

En la quinta iteración:

 f(1.31128)=-0.05659<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1.31128 y x1=2

x6=x0-f(x0)⋅

x1-x0

f(x1)-f(x0)

x6=1.31128-(-0.05659)⋅

2-1.31128

5-(-0.05659)

x6=1.31899

f(x6)=f(1.31899)=-0.0243<0

En la 6ª iteración:

 f(1.31899)=-0.0243<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1.31899 y x1=2

x7=x0-f(x0)⋅

x1-x0

f(x1)-f(x0)

x7=1.31899-(-0.0243)⋅

2-1.31899

5-(-0.0243)

x7=1.32228

f(x7)=f(1.32228)=-0.01036<0

En la séptima iteración:

 f(1.32228)=-0.01036<0 y f(2)=5>0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x0=1.32228 y x1=2

x8=x0-f(x0)⋅

x1-x0

f(x1)-f(x0)

x8=1.32228-(-0.01036)⋅

2-1.32228

5-(-0.01036)

x8=1.32368

La raíz aproximada de la ecuación x3-x-1=0 usando el método Regula Falsi es 1.32368

Diferencias entre el Método de Bisección y el Método Regula False

Base	Método de bisección	Método Regula Falsi
Definición	En matemáticas, el método de bisección es un método de búsqueda de raíces que se aplica a funciones continuas para las cuales conoce dos valores con signos opuestos.	En matemáticas, el método de la posición falsa es un método muy antiguo para resolver ecuaciones con una incógnita. Este método está modificado y todavía se usa.
Sencillez	es simple de usar y fácil de implementar.	Fácil de usar en comparación con el método de bisección
Esfuerzos computacionales	Menos en comparación con el Método Regula Falsi	Más en comparación con el método de bisección
Se requiere iteración	En el método de bisección, si una de las conjeturas iniciales está más cerca de la raíz, se requerirá una gran cantidad de iteraciones para llegar a la raíz.	Menos en comparación con el método de bisección. Este método puede ser menos preciso que la bisección; no se garantiza una precisión estricta.
Convergencia	El orden de convergencia del método de bisección es lento y lineal.	Este método tiene un orden de convergencia más rápido que el método de bisección.
Fórmula iterativa general	La fórmula es: X3 =( X1 + X2)/2	La fórmula es: X3 = X1(fx2) – x2(fx1)/ f(x2) -f(x1)
Otros nombres	También se conoce como método de Bolzano , método de corte binario, método de medio intervalo.	También se conoce como el método de la Falsa Posición.