Diferencia entre el método de Newton Raphson y el método Falsi regular

Los cálculos numéricos juegan un papel importante en la resolución de problemas matemáticos de la vida real. Los métodos numéricos son los procedimientos mediante la aplicación de operaciones aritméticas uno puede formular problemas matemáticos para encontrar el resultado aproximado. En esto, no hay necesidad de algoritmos, porque los métodos numéricos requieren el concepto de lógica de programación para la implementación. A continuación se muestra el proceso del método numérico,

• Problemas matemáticos formulados en operaciones aritméticas simples. Esta formulación se llama implementación numérica del problema.
• Luego se desarrolla la lógica de programación para la implementación numérica. La programación se suele hacer con algunos lenguajes de alto nivel como Fortran, Basic, etc.
• Luego, los programas se ejecutan en las herramientas informáticas como computadoras.
• Los resultados se muestran en la pantalla.

Existen diferentes métodos numéricos para la solución del problema pero el método particular depende de la situación de donde se toma el problema. Los siguientes métodos vienen bajo el concepto de obtener las raíces de la ecuación.

Método de Newton Raphson

El método de Newton Raphson es uno de los métodos más rápidos entre los métodos de bisección y de posición falsa. En este método, tome una aproximación inicial en lugar de dos. Es el proceso para la determinación de una raíz real de una ecuación f(x) = 0 dado sólo un punto cercano a la raíz deseada.

Fórmula para el método de Newton Raphson: x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

Ejemplo: Encontrar una raíz de una ecuación f(x) = x ³ – x – 1 

Solución:

Ecuación dada x ³ – x – 1 = 0

Usando el método de diferenciar la ecuación es,

∴ f′(x) = 3x ² – 1

Aquí, f(1) = -1 < 0 y f(2) = 5 > 0

∴ La raíz se encuentra entre 1 y 2

x0 = ( ₁ + 2)/2 = 1,5

• En 1ra iteración

f(x0 ₎ = f(1.5) = 0.875

f′(x ₀ ) = f′(1.5) = 5.75

x1 = x0 _– f(x0 _{) /} f′( _x0 )

=1,5 – 0,875/ 5,75

x1 = _1,34783

• En 2da iteración

f(x1 ) = f( _1.34783 ) = 0.10068

f′(x ₁ ) = f′(1.34783) = 4.44991

x2 ₌ x1 – f(x1 _{) /} f′( _x1 )

= 1,34783 – 0,10068/4,44991

x2 = _1,3252

• En 3ra iteración 

f(x2 ) ₌ f(1.3252) = 0.00206

f′(x2 ) ₌ f′(1.3252) = 4.26847

x3 = x2 _{– f} (x2 ) _/ f′( _x2 )

=1.3252 – 0.00206/4.26847

x3 = _1,32472

• En la 4ª iteración 

f(x ₃ ) = f(1.32472) = 0

f′(x ₃ ) = f′(1.32472) = 4.26463

x4 = x3 _– f(x3 _{) /} f′( _x3 )

=1.32472 – 0/ 4.26463

x4 = _1,32472

La raíz aproximada de la ecuación x ³ – x – 1 = 0 usando el método de Newton Raphson es 1.32472.

Ventajas del método de Newton Raphson

• Es el mejor método para resolver ecuaciones no lineales.
• También se utiliza para resolver ecuaciones no lineales, diferenciales no lineales y ecuaciones integrales no lineales.
• El orden de convergencia es cuadrático.
• Fácil de implementar en una computadora.

Desventajas del método de Newton Raphson

• Este método se vuelve complicado si la derivada de la función f(x) no es simple.
• Este método también falla si f(x) = 0, para algún valor de x.
• En cada iteración, tenemos que evaluar dos cantidades f(x) y f'(x) para alguna x.

Método Falso Regular

Este método es el mismo que el de bisección, pero debe ser más rápido que el método de bisección. Este es uno de los métodos más antiguos para encontrar la raíz real de una ecuación f(x) = 0 y se parece mucho al método de bisección. 

Fórmula para el método falso regular:  

Ejemplo: Encontrar una raíz de una ecuación f(x) = x ³ – x – 1  

Solución:

Ecuación dada, x ³ – x – 1 = 0

sea ​​x = 0, 1, 2

• En 1ra iteración

f(1) = -1 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1 y x ₁ = 2

x2 ₌ x0 – f( _{x0 )}

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x2 = ₁ – (-1)⋅

= 2 – 1

= 5 – (-1)

x2 = _1,16667

f(x2 ) ₌ f(1.16667) = -0.5787 < 0

• En 2da iteración

f(1.16667) = -0.5787 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1.16667 y x ₁ = 2

_x3 = x0 – f( _{x0 )}

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x3 = _1,16667 – (-0,5787)

= 2 – 1.16667

= 5 – (-0,5787)

x3 = _1,25311

f(x ₃ ) = f(1.25311) = -0.28536 < 0

• En 3ra iteración

f(1.25311) = -0.28536 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1.25311 y x ₁ = 2

x4 = x0 _– f( _{x0 )} ⋅

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x4 = _1,25311 – (-0,28536)⋅

= 2 – 1.25311

= 5 – (-0,28536)

x4 = _1,29344

f(x ₄ ) = f(1.29344) = -0.12954 < 0

• En la 4ª iteración

f(1,29344) = -0,12954 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1.29344 y x ₁ = 2

x5 = x0 _– f( _{x0 )} ⋅

= x ₁ – x ₀

= f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x5 = _1,29344 – (-0,12954)⋅

= 2 – 1,29344

= 5 – (-0.12954)

x ₅ = 1.31128

f(x ₅ ) = f(1.31128) = -0.05659 < 0

• En la quinta iteración

f(1.31128) = -0.05659 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1.31128 y x ₁ = 2

_x6 = x0 – f( _{x0 )} ⋅

= x ₁ – x ₀

= f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x6 = _1,31128 – (-0,05659)⋅

= 2 – 1,31128

= 5 – (-0.05659)

x ₆ = 1.31899

f(x ₆ ) = f(1.31899) = -0.0243 < 0

• En la 6ª iteración

f(1,31899) = -0,0243 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1.31899 y x ₁ = 2

x7 = x0 _– f( _{x0 )} ⋅

= x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x7 = _1,31899 – (-0,0243)⋅

= 2 – 1.31899

= 5 – (-0.0243)

x7 = _1,32228

f(x ₇ ) = f(1.32228) = -0.01036 < 0

• En la séptima iteración

f(1.32228) = -0.01036 < 0 y f(2) = 5 > 0

La raíz se encuentra entre estos dos puntos x ₀ = 1.32228 y x ₁ = 2

_x8 = x0 – f( _{x0 )} ⋅

x ₁ – x ₀

f(x ₁ ) – f(x ₀ )

x8 = _1,32228 – (-0,01036)⋅

= 2 – 1,32228

= 5 – (-0.01036)

x8 = _1,32368

La raíz aproximada de la ecuación x ³ – x – 1 = 0 usando el método Regula Falsi es 1.32368.

Ventajas del método Falsi Regular

• Su convergencia es más rápida que el método de bisección.
• Es fácil de implementar en una computadora.
• Antes de comenzar la siguiente iteración; solo necesita encontrar id f (x _{n + 1} )

Desventajas del método Falsi Regular

• La fórmula es muy complicada.
• Consume mucho tiempo en comparación con otros métodos.

Comparación entre el método Regular Falsi y el método de Newton Raphson

No Señor.	Método Falso Regular	Método de Newton Raphson
1.	La tasa de convergencia es superlineal.	Aquí, la tasa de convergencia es de segundo orden o cuadrática.
2.	fórmula es:	fórmula es: x1 = x0 – f(x0 ) / f'( x0 )
3.	En este método, se toman dos aproximaciones iniciales de la raíz en las que se espera que se encuentre la raíz.	En este método, se toma una aproximación inicial de la raíz.
4.	El cálculo de la función por iteración es 1.	El cálculo de la función por iteración es 2.
5.	La aproximación inicial es menos sensible.	La aproximación inicial es muy sensible.
6.	No hay necesidad de encontrar derivadas.	Hay una necesidad de encontrar derivados.
7.	No es aplicable para encontrar dos raíces complejas, múltiples y casi iguales.	Es aplicable para encontrar dos raíces complejas, múltiples y casi iguales.