Diferencia semántica entre Set y Type

Introducción:
Etimológicamente un conjunto es una colección de elementos distintos que pueden tener algo particular en común y tipo significa-“de una especie particular”.

Estos dos términos son vitales en términos matemáticos, ya que dan lugar a la teoría de conjuntos y la teoría de tipos. Este artículo proporciona una diferencia semántica entre conjunto y tipo en términos matemáticos.

1. CONJUNTO:
Resumen del conjunto –

• En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos distintos.
• Un conjunto se denota con letras mayúsculas en cursiva como A, E, D, etc.
• Una pregunta realizada en relación con el conjunto puede dar como resultado resultados verdaderos o falsos.
• Los conjuntos conducen a la teoría de conjuntos.
• Set fue fundado en el siglo XIX.
• George Cantor encontró la teoría de conjuntos y también es conocido como el padre de la teoría de conjuntos.
• La teoría de conjuntos finalmente conduce al concepto de redes y luego al álgebra booleana. Es la raíz del álgebra booleana.

Ideología –

• La ideología del conjunto es la “colección”.
• Considere objetos predefinidos en matemáticas. Estos objetos predefinidos se pueden analizar, estudiar y se pueden juntar en diferentes grupos en función de ciertos factores. Estos grupos forman una colección y una colección es un “conjunto”.
• El círculo, los puntos y la línea de ejemplo se encuentran en un plano, por lo tanto, pueden formar un conjunto.

Características del conjunto –

• Los conjuntos tienen «elementos» asociados con él.
• En teoría de conjuntos, un elemento puede pertenecer a más de un conjunto.
• Los números se pueden utilizar para representar conjuntos. (0 para un conjunto vacío y 1 para un conjunto que contiene un conjunto vacío).
• La teoría de conjuntos tiene su raíz en la lógica. Por lo tanto, conceptos como la lógica de predicados necesitan un sistema separado debajo de ellos.
• Los conjuntos tienen operaciones asociadas con ellos. Algunas operaciones básicas son: uniones, intersección, complemento y producto cartesiano.
• Para verificar si un elemento pertenece a un conjunto, se requiere una «prueba».

Aplicaciones del conjunto – 

• Set tiene sus aplicaciones en matemáticas. Un conjunto es universal (en términos de lenguaje) en matemáticas. Un conjunto se utiliza para construir relaciones.
• Set se utiliza para identificar y almacenar elementos únicos en la programación de computadoras.
• Set sienta las bases de la fundación del álgebra booleana.
• Set sienta las bases de una rama muy importante de la informática que es la electrónica digital.
• Set finalmente condujo a la fundación de la teoría de tipos.

Ejemplo: 
N es un conjunto de todos los números naturales tales que N={1,2,3,4,..} .Z es un conjunto de todos los números enteros tales que Z={-3,-2,-1,0, 1,2,3,..}. Un conjunto B={verdadero, falso} es un conjunto de valores booleanos.

2. TIPO :

Descripción general del tipo –

• Tipo en matemáticas es algún tipo de colección de valores que se producen en la evaluación de un término.
• Un tipo se denota por τ.
• En el tipo uno necesita probar si la pregunta tiene sentido o no.
• El tipo conduce a la teoría del tipo.
• La teoría de tipos finalmente condujo a su fundación entre 1902 y 1908 cuando Bertrand Russell propuso varias teorías de tipos.
• El tipo tiene su origen en la teoría de conjuntos.
• La teoría de tipos se hizo para eliminar las inconsistencias de la lógica formal, el sistema de reescritura y la teoría de conjuntos ingenua.

Ideología –

• La ideología del tipo es la “construcción”.
• En matemáticas, los objetos se construyen de acuerdo con reglas.
• La organización de estos objetos sobre la base de su construcción los clasifica en diferentes «tipos».
• Los objetos en matemáticas se construyen de manera única, lo que da como resultado tipos únicos.

Características del tipo –

• El tipo tiene «términos» asociados.
• En la teoría de tipos, los términos generalmente pertenecen a un solo tipo.
• En la teoría de tipos, los números se utilizan para representar funciones. Los términos «y» y «o» se pueden codificar como tipo en sí. No se necesita un sistema separado.
• Las características asociadas con el tipo son tipos dependientes, tipos de igualdad, tipos inductivos, tipos de universo y componentes computacionales.
• Para verificar si un término es de un tipo particular, se requiere un «algoritmo».

Aplicaciones de tipo –

• La teoría de tipos crea un impacto práctico en, asistentes de prueba, lenguajes de programación, fundamentos matemáticos, lingüística y ciencias sociales.
• En los lenguajes de programación, los sistemas de tipos se utilizan para identificar errores.
• Los verificadores de prueba, los asistentes de prueba, el teorema de prueba automatizado utilizan la teoría de tipos para codificar pruebas en matemáticas.
• Las nociones de nivel lógico y doble vínculo de Gregory Bateson se derivan de la teoría de tipos.
• Diferentes tipos de gramática utilizan la teoría de tipos para categorizar tipos (como sustantivo, verbo).
• La teoría de tipos se utiliza en la semántica del lenguaje.

Ejemplos:
si 3 es de tipo nat , entonces existe un término de tipo I nat 3 3 . 3+(7∗8) ⁵   también es de tipo Nat. (En conjuntos esto se puede representar mediante expresiones 3∈{n∈N∣∀x,y,z∈N+(xn+yn≠zn)} ). M:A en la teoría de tipos se evalúa como M es un término del tipo de datos A.

Conclusión:
aunque los conjuntos y los tipos son diferentes, están claramente relacionados. Cada tipo da lugar a un conjunto de entidades de ese tipo. De hecho, las raíces de la teoría de tipos se encuentran en la teoría de conjuntos. Los conjuntos también pueden considerarse tipo si se consideran en una extensión. Diferentes tipos pueden dar lugar a un mismo conjunto.