Diferenciar una serie de Chebyshev usando NumPy en Python

En este artículo, cubriremos cómo integrar una serie Chebyshev y establecer la constante de integración en Python usando NumPy.

método chebyshev.chebder

La serie de Chebyshev tiene polinomios con el mayor coeficiente principal posible, cuyo valor absoluto en el intervalo [−1, 1] está acotado por 1. También son los polinomios «extremos». Los polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de la aproximación porque las raíces de Tn(x), que también se denominan Nodes de Chebyshev, se utilizan como puntos coincidentes para optimizar la interpolación de polinomios. El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y proporciona una aproximación cercana a la mejor aproximación polinomial a una función continua bajo la norma máxima, también llamada criterio “minimax”. 

En Python, para realizar la diferenciación de Chebyshev, NumPy proporciona una función llamada chebyshev.chebder que se puede usar para integrar la serie Chebyshev. Esta función devuelve los coeficientes de la serie de Chebyshev c diferenciados m veces a lo largo del eje.

Sintaxis: chebyshev.chebder(c, m=1, scl=1, eje=0)

Parámetros:

• c – una array de coeficientes de la serie Chebyshev
• m –  número de derivados tomados, debe ser no negativo
• scl: valor del escalador (lineal). Cada diferenciación se multiplica por scl. 
• eje – Eje sobre el cual se toma la derivada. predeterminado – 0

Regreso: Serie Chebyshev

Ejemplo 1:

En el primer ejemplo. Consideremos una array 1D con una derivada de primer orden y 1 como constante de escala. Importe los paquetes necesarios como se muestra y pase los parámetros apropiados como se muestra a continuación.

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev
 
# co.efficient array
c = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11])
 
print(f'The shape of the array is {c.shape}')
print(f'The dimension of the array is {c.ndim}D')
print(f'The datatype of the array is {c.dtype}')
 
res = chebyshev.chebder(c, m=1, scl=1)
 
# differentiated chebyshev series with
# first order derivative and scale 1
print(f'Resultant series ---> {res}')

Producción:

Producción

Ejemplo 2:

En el segundo ejemplo. Consideremos una array 1D con una derivada de segundo orden y 5 como constante de escala. Importe los paquetes necesarios como se muestra y pase los parámetros apropiados como se muestra a continuación.

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev
 
# co.efficient array
c = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11])
 
print(f'The shape of the array is {c.shape}')
print(f'The dimension of the array is {c.ndim}D')
print(f'The datatype of the array is {c.dtype}')
 
res = chebyshev.chebder(c, m=2, scl=5)
 
# differentiated chebyshev series with
# second order derivative and scale 5
print(f'Resultant series ---> {res}')

Producción:

Producción

Ejemplo 3:

En el tercer ejemplo. Consideremos una array 1D con una derivada de tercer orden y 7 como constante de escala. Importe los paquetes necesarios como se muestra y pase los parámetros apropiados como se muestra a continuación.

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev
 
# co.efficient array
c = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11])
 
print(f'The shape of the array is {c.shape}')
print(f'The dimension of the array is {c.ndim}D')
print(f'The datatype of the array is {c.dtype}')
 
res = chebyshev.chebder(c, m=3, scl=7)
 
# differentiated chebyshev series with
# third  order derivative and scale 7
print(f'Resultant series ---> {res}')

Producción:

Producción