Dinámica del movimiento circular

Hay muchos ejemplos a nuestro alrededor en la vida diaria donde los cuerpos realizan movimientos circulares todos los días. Desde las manecillas del reloj hasta un automóvil que gira en una carretera peraltada. Todos estos son ejemplos de movimiento circular. Este movimiento se puede clasificar en dos categorías: movimiento circular uniforme y movimiento circular no uniforme. Es fundamental conocer la dinámica y la ecuación del cuerpo que realiza el movimiento circular. Estas dinámicas nos permiten analizar estos movimientos y calcular las estadísticas relacionadas con el comportamiento del cuerpo en dicho movimiento.

Movimiento circular

Se dice que un objeto que se mueve en una trayectoria circular alrededor de un punto realiza un movimiento circular. Por ejemplo, un automóvil que gira en la carretera está realizando un movimiento circular alrededor de algún centro. El movimiento circular de continuo es de naturaleza periódica. Los movimientos periódicos son los movimientos que se repiten después de un cierto período de tiempo. Según la velocidad y la aceleración, este movimiento se puede clasificar en dos categorías:

Movimiento circular uniforme: cuando un cuerpo se mueve a una velocidad constante en un movimiento circular a lo largo de la circunferencia de la trayectoria circular, se llama movimiento circular uniforme.
Movimiento circular no uniforme: cuando un cuerpo se mueve en un movimiento circular a lo largo de la circunferencia de una trayectoria circular de tal manera que su velocidad sigue cambiando. Se llama movimiento circular no uniforme.

Dinámica del movimiento circular

En este movimiento, el cuerpo se mueve a una velocidad constante. Digamos que el radio de la trayectoria circular en la que se mueve el cuerpo es “r”, y la velocidad del cuerpo es vm/s. La figura muestra el cuerpo yendo del punto A al punto B en el tiempo “t”. La longitud del arco desde el punto A hasta el punto B se denota por «s». En esto, el ángulo cubierto por el objeto está dado por,

$\theta = \frac{PQ}{r} \\ \theta = \frac{s}{r}$

La velocidad angular del cuerpo se define como la tasa de cambio del ángulo. Es similar a la velocidad en el caso del movimiento en línea recta. Se denota con el símbolo griego $\omega$ .

$\omega = \frac{d\theta}{dt} \\$

Usando la relación dada arriba para el ángulo cubierto.

$\omega = \frac{d}{dt}(\frac{s}{r}) \\ = \omega = (\frac{ds}{dt})\frac{1}{r}$

S es la longitud del arco que es la distancia recorrida por el cuerpo,

V = $\frac{ds}{dt}$ , donde v es la velocidad del cuerpo.

Sustituyendo el valor en la ecuación,

$\omega = (\frac{ds}{dt})\frac{1}{r} \\ \omega = \frac{v}{r}$

Movimiento circular uniforme

Los cuerpos tienen tendencia a moverse en línea recta. Para que los cuerpos realicen un movimiento circular a una velocidad constante, debe haber alguna fuerza que los mantenga en una trayectoria circular. Tal fuerza se llama fuerza centrípeta. La reacción de esta fuerza se llama fuerza centrífuga. Esto significa que ambas fuerzas son iguales y de dirección opuesta.

La fuerza centrífuga está dada por,

$F = \frac{mv^2}{r}$

Se sabe que $\omega = \frac{v}{r}$

Sustituyendo esta relación en la ecuación,

$F = \frac{mv^2}{r} \\ = F = \frac{m(r\omega)^2}{r} \\ = F = mr\omega^2$

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la velocidad angular de un cuerpo que se mueve a una velocidad de 20 m/s en un círculo de 5 m de radio.

Responder:

La fórmula para la velocidad angular está dada por,

$\omega = \frac{v}{r}$

Dado: v = 20 m/s y r = 5 m.

Reemplazando los valores en la ecuación,

$\omega = \frac{v}{r}$

⇒ $\omega = \frac{20}{5}$

⇒ $\omega = 4 \text{rad/s}$

Pregunta 2: Encuentra la velocidad angular de un cuerpo que se mueve a una velocidad de 10 m/s en un círculo de radio 2 m.

Responder:

La fórmula para la velocidad angular está dada por,

$\omega = \frac{v}{r}$

Dado: v = 10 m/s y r = 2 m.

Reemplazando los valores en la ecuación,

$\omega = \frac{v}{r}$

⇒ $\omega = \frac{10}{2}$

⇒ $\omega = 5 \text{ rad/s}$

Pregunta 3: Encuentra la fuerza que actúa sobre una partícula de 2 kg de masa que se mueve en un círculo de 2 m de radio a una velocidad de 5 m/s.

Responder:

La fórmula de la fuerza centrípeta está dada por,

$F = \frac{mv^2}{r}$

Dado: v = 5 m/s, r = 2 m y m = 2Kg

Reemplazando los valores en la ecuación,

$F = \frac{mv^2}{r}$

⇒ $F = \frac{(2)(5)^2}{2}$

⇒F = 25N

Pregunta 4: Encuentra la fuerza que actúa sobre una partícula de 5 kg de masa que se mueve en un círculo de 4 m de radio con una velocidad angular de 20 rad/s.

Responder:

La fórmula de la fuerza centrípeta está dada por,

$F = m r \omega^2$

Dado: $\omega = 20 \text{ rad/s}$ , r = 2 m y m = 2Kg

Reemplazando los valores en la ecuación,

$F = m r \omega^2$

⇒ $F = (2)(2)(20)^2$

⇒ $F = (2)(2)(400)$

⇒F = 1600 N

Pregunta 5: Un insecto se mueve en un círculo de 2 m de radio y completa 10 revoluciones por segundo. Encuentre la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración.

Responder:

El cuerpo se mueve a 10 revoluciones por segundo.

$\omega = \text{Angle covered per second}\\ = \omega = 10 \times 2 \pi \\ = \omega = 20\pi$

La velocidad angular es $20\pi \text{ rad/s}$

La velocidad lineal viene dada por,

$v = r\omega$

Dado: r = 2 m

$v = r\omega$

⇒ v = (2)(20 $\pi$ )

⇒v= $40\pi$

La aceleración estará dada por,

un = $\frac{v^2}{r}$

⇒ un = $\frac{(40\pi)^2}{2}$

⇒a = $800\pi^2$

Pregunta 6: Un insecto se mueve en un círculo de 4 m de radio y completa 20 revoluciones por segundo. Encuentre la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración.

Responder:

El cuerpo se mueve a 20 revoluciones por segundo.

$\omega = \text{Angle covered per second}\\ = \omega = 20 \times 2 \pi \\ = \omega = 40\pi$

La velocidad angular es $40\pi \text{ rad/s}$

La velocidad lineal viene dada por,

$v = r\omega$

Dado: r = 4 m

$v = r\omega$

⇒ v = (4)(40 $\pi$ )

⇒v= $160\pi$

La aceleración estará dada por,

un = $\frac{v^2}{r}$

⇒ un = $\frac{(1600\pi)^2}{4}$

⇒a = $640000\pi^2$