Dinámica del movimiento de rotación

Los cuerpos rígidos pueden moverse tanto en traslación como en rotación. Como resultado, en tales circunstancias, deben examinarse tanto las velocidades lineales como las angulares. Para facilitar la comprensión de estas dificultades, es necesario definir por separado los movimientos de traslación y rotación del cuerpo. La dinámica del movimiento de rotación de un elemento alrededor de un eje fijo se discutirá en este artículo. Dada la lista de tablas cantidades asociadas con el movimiento lineal y sus análogos en el movimiento de rotación.

Movimiento lineal	Movimiento de rotación sobre un eje fijo
Desplazamiento x	Desplazamiento angular θ
Velocidad v = dx/dt	Velocidad angular ω = dθ/dt
Aceleración a = dv/dt	Aceleración angular α = dω/dt
Masa M	Momento de inercia yo
Fuerza F = Ma	Par τ = I α
Trabajo dW = F ds	Trabajo W = τ dθ
Energía cinética K = Mv ² /2	Energía cinética K = Iω ² /2
Potencia P = F v	Potencia P = τω
Momento lineal p = Mv	Momento angular L = Iω

En el movimiento de rotación, el momento de inercia y el par juegan el mismo papel que la masa y la fuerza, respectivamente, en el movimiento lineal.

Movimiento rotacional

El movimiento de un cuerpo en una trayectoria circular alrededor de un punto fijo en el espacio se conoce como movimiento de rotación.

El movimiento de un cuerpo que no se deforma ni cambia de forma en el que todas sus partículas se mueven en círculos alrededor de un eje con una velocidad angular común. Por ejemplo, el movimiento de la tierra sobre su propio eje, el movimiento de una rueda de vehículos, engranajes, motores, etc.

Movimiento de rotación sobre un eje fijo

Debido a que el eje es fijo, solo se consideran los componentes de torque que están en la misma dirección del eje fijo. Solo estos componentes tienen la capacidad de girar el cuerpo alrededor de su eje. Un componente del par que sea perpendicular al eje de rotación tenderá a alejar el eje de su posición actual. Se supone que ocurrirán fuerzas de restricción apropiadas para cancelar o cancelar la influencia de los componentes perpendiculares de los pares (externos), permitiendo que el eje permanezca en su posición fija. Como resultado, no es necesario considerar las componentes perpendiculares de los pares. Esto significa que para el cálculo de pares sobre un cuerpo rígido:

Solo se deben considerar las fuerzas que están presentes en planos perpendiculares al eje. Las fuerzas que son paralelas al eje producen pares que son perpendiculares al eje y no necesitan ser considerados.
Solo se deben considerar las componentes de los vectores de posición que son perpendiculares al eje. Los componentes del vector de posición a lo largo del eje darán como resultado pares perpendiculares al eje y no es necesario considerarlos.

Trabajo realizado por una fuerza F1 que actúa sobre una partícula de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo; la partícula describe una trayectoria circular con centro C en el eje; arc P1P′1(ds1) da el desplazamiento de la partícula

Principio de movimiento de rotación y trabajo-energía

La figura representa una sección transversal de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo, que es el eje z (perpendicular al plano de la página). Como se dijo anteriormente, solo se deben considerar fuerzas en planos perpendiculares al eje. Sea F ₁ un ejemplo de una fuerza típica que actúa sobre una partícula corporal en la posición P ₁ con su línea de acción perpendicular al eje. Tome el plano x′–y′ por conveniencia (coincidente con el plano de la página). P ₁ representa una trayectoria circular de radio r ₁ y centro C en el eje; PC ₁ = r ₁ . El punto va a la ubicación P ₁ ′ en el tiempo ∆t. Como resultado, la partícula desplaza ds1 tiene una magnitud de ds ₁ = r₁ dθ y una dirección tangencial en P ₁ a la ruta circular, como se indica. El desplazamiento angular de la partícula viene dado por dθ =∠P ₁ CP ₁^′ .

$dW_1=F_1\cdot{ds_1}\\ dW_1=F_1ds_1\cos\phi_1\\ dW_1=F_1(r_1d\theta)\sin\alpha_1$

donde ∅ ₁ es el ángulo entre F ₁ y la tangente en P ₁ , y α ₁ es el ángulo entre F ₁ y el radio vector OP ₁ y ∅ ₁ + α ₁ = 90°.

OP ₁ × F ₁ es el par debido a F ₁ sobre el origen. OP ₁ ahora es igual a OC+ OP ₁ , el par generado por OC no se tiene en cuenta porque está a lo largo del eje. F ₁ produce un par efectivo de τ ₁ = CP × F ₁ que se dirige a lo largo del eje de rotación y tiene una magnitud de τ ₁ = r ₁ F ₁ sinα.

$dW_1=\tau_1d\theta$

Si hay muchas fuerzas actuando sobre el cuerpo, el trabajo total realizado sobre el cuerpo se puede calcular sumando el trabajo realizado por cada una de ellas. Usando los números τ ₁ , τ ₂ ,… para representar las magnitudes de los pares causados por varias fuerzas.

$dW_1=(\tau_1+\tau_1+....)d\theta$

Aunque las fuerzas que provocan los momentos de torsión actúan sobre varias partículas, el desplazamiento angular d es el mismo para todas ellas. Debido a que todos los pares son paralelos al eje fijo, la magnitud del par total es simplemente la suma algebraica de las magnitudes del par.

$dW=\tau{d\theta}$ ……………………………………(1)

Relación entre torque, momento de inercia y aceleración angular

El trabajo realizado por el par total (externo) que actúa sobre un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo viene dado por esta expresión. Su similitud con la expresión correspondiente $dW= F ds$ para el movimiento lineal (de traslación).

Dividiendo ambos lados de la expresión anterior por dt,

$P=\frac{dW}{dt}\\ P=\tau{\frac{d\theta}{dt}}\\ P=\tau\omega$ ……………………………..(2)

La expresión anterior es para potencia instantánea. Compare esta fórmula de potencia para el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo con la fórmula de potencia P = Fv para el movimiento lineal.

No hay movimiento interno en un cuerpo perfectamente rígido. Como resultado, el trabajo realizado por los pares externos no se disipa y continúa elevando la energía cinética del cuerpo. La ecuación (2) da la velocidad a la que se realiza trabajo sobre el cuerpo. Esto se equipara a la velocidad a la que aumenta la energía cinética.

$\frac{d}{dt}\frac{I\omega^2}{2}\\ =I\left(\frac{2\omega}{2}\right)\frac{d\omega}{dt}\\ =I\omega\frac{d\omega}{dt}\\ =I\omega\alpha\hspace{2cm}\left(\because\frac{d\omega}{dt}=\alpha\right)$

Igualando las tasas de trabajo realizado y de aumento en la energía cinética,

$\tau{ω}=Iω\alpha\\ \text{or }\text{ }\tau=I\alpha$ ……………………………………..(3)

La expresión anterior es similar a la segunda ley de Newton para el movimiento lineal expresada simbólicamente como F = ma. Como la fuerza provoca la aceleración, el par provoca la aceleración angular en un cuerpo. El par aplicado determina la aceleración angular, que es inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo. Para la rotación a lo largo de un eje fijo, la expresión anterior es la segunda ley de Newton.

Momento de inercia

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto al cambio de rotación. El momento de inercia está representado por I y se mide en kilogramos por metro cuadrado (kgm ² ). Se expresa como

yo = señor ²

donde m es la masa de la partícula y r es la distancia desde el eje de rotación.

Cuerpo simétrico con eje simétrico	Momento de inercia
Anillo	$I=mR^2$
Cilindro o disco	$I=\frac{1}{2}mR^2$
esfera uniforme	$I=\frac{2}{5}mR^2$
Varilla con el eje a través del extremo	$I=\frac{1}{3}ml^2$
Varilla con el eje en el centro	$I=\frac{1}{12}ml^2$

Ejemplos de problemas

Problema 1: Dé la ubicación del centro de masa de (i) esfera, (ii) cilindro, (iii) anillo y (iv) cubo, cada uno de densidad de masa uniforme. ¿El centro de masa de un cuerpo se encuentra necesariamente dentro del cuerpo?

Solución:

Debido a que la densidad de masa es uniforme en las cuatro circunstancias, el centro de masa se ubica en sus centros geométricos.

No, el centro de masa de un cuerpo no tiene que estar ubicado en el cuerpo. En un anillo circular, el centro de masa está en el centro del anillo, donde no hay masa.

Problema 2: Una cuerda de masa despreciable se enrolla alrededor del borde de un volante de 20 kg de masa y 20 cm de radio. Se aplica un tirón constante de 25 N en la cuerda como se muestra en la figura dada. El volante está montado sobre un eje horizontal con cojinetes sin fricción.

(a) Calcule la aceleración angular de la rueda.

(b) Encuentre el trabajo realizado por el tirón, cuando se desenrollan 2 m de la cuerda.

Solución:

(a) La relación entre el momento de torsión, el momento de inercia y la aceleración angular es

$\tau=I\alpha$

Reorganizar la expresión,

$\alpha=\frac{\tau}{I}$ …………………………………………….(1)

La expresión del par es

τ = FR

Sustituya los valores en la expresión anterior,

τ = (25×0,20) Nm

τ = 5,0 Nm

El momento de inercia del volante con respecto a su eje está dado por,

$I=\frac{1}{2}mR^2$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$I=\frac{1}{2}\times20\times(0.2)^2\\ I=0.4\text{ kgm}^2$

Sustituir los valores en la expresión (1),

$\alpha=\frac{5.0\text{ Nm}}{0.4\text{ kgm}^2}\\ \alpha=12.5\text{ s}^{-2}$

(b) Trabajo realizado por el tirón que desenrolla 2 m de la cuerda

Ancho = 25 N × 2 m = 50 J

Problema 3: Un niño se sienta estacionario en un extremo de un carrito largo que se mueve uniformemente con una velocidad V sobre un piso horizontal liso. Si el niño se levanta y corre en el carrito de cualquier manera, ¿cuál es la velocidad del CM del sistema (carrito + niño)? Un niño se sienta estacionario en un extremo de un carrito largo que se mueve uniformemente con una velocidad V sobre un piso horizontal liso. Si el niño se levanta y corre en el carrito de cualquier manera, ¿cuál es la velocidad del CM del sistema (carrito + niño)?

Solución:

Cuando el niño se pone de pie y corre en el carrito, la velocidad del centro de masa del carrito y del niño permanece constante, independientemente del movimiento del niño. Es porque el niño y el carrito forman un solo sistema, y las fuerzas en juego son completamente internas. No hay cambio en el momento y la velocidad del sistema ya que no hay fuerza externa.

Problema 4: Un automóvil pesa 1800 kg. La distancia entre sus ejes delantero y trasero es de 1,8 m. Su centro de gravedad está a 1,05 m detrás del eje delantero. Determine la fuerza ejercida por el suelo nivelado sobre cada rueda delantera y cada rueda trasera.

Solución:

Sean F ₁ y F ₂ las fuerzas que el suelo nivelado ejerce sobre las ruedas delanteras y traseras, respectivamente. El equilibrio rotacional sobre las ruedas delanteras es

$F_2\times1.8 = mg\times1.05\\ F_2 =\frac{1.05}{1.8}\times1800\times9.8\\ F_2=10290\text{ N}$

La fuerza en cada rueda trasera es

$F_2=\frac{10290\text{ N}}{2}\\ F_2=5145\text{ N}$

El equilibrio rotacional sobre las ruedas traseras.

$F_1\times1.8 = mg (1.8 - 1.05)\\ F_1 =\frac{mg\times0.75}{1.8}\\ F_1 =\frac{1800\times9.8\times0.75}{1.8}\\ F_1 =7350\text{ N}$

La fuerza en cada rueda delantera es

$F_1=\frac{7350\text{ N}}{2}\\ F_1=3675\text{ N}$

Problema 5: Un cilindro sólido de 20 kg de masa gira alrededor de su eje con una velocidad angular de 100 rad s ^-1 . El radio del cilindro es de 0,25 m. ¿Cuál es la energía cinética asociada con la rotación del cilindro? ¿Cuál es la magnitud del momento angular del cilindro con respecto a su eje?

Solución:

Dado,

La masa del cilindro macizo es de 20 kg.

La velocidad angular es de 100 rad s ^-1 .

El momento de inercia del cilindro sólido con respecto a su eje está dado por,

$I=\frac{1}{2}mR^2$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$I=\frac{1}{2}\times20\times0.25^2\text{ kgm}^2\\ I=0.625\text{ kgm}^2$

La expresión de la energía cinética de rotación es

$E_r=\frac{1}{2}I\omega^2$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$E_r=\frac{1}{2}\times0.625\times100^2\text{ J}\\ E_r=3125\text{ J}$

La expresión del momento angular es

$L=I\omega$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$L=(0.625\times100)\text{ Js}\\ L= 62.5\text{ Js}$