La línea es una figura unidimensional recta que no tiene espesor. En geometría, una línea se extiende infinitamente en ambas direcciones. Se describe como la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera. La línea A también se puede entender como múltiples puntos conectados entre sí en una dirección específica sin un espacio entre ellos.
El segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales diferentes y contiene todos los puntos de la línea entre sus puntos finales en la distancia más corta posible.
Reglas para escribir las coordenadas del punto que divide el conjunto de dos puntos dados P(x 1 ,y 1 ) y Q(x 2 ,y 2 ) internamente en una razón dada m 1 :m 2
- Dibujar el segmento de recta que une los puntos P y Q dados
- Escriba las coordenadas de p y Q en los extremos
- Sea R(x, y) la entrada que divide internamente a PQ en la razón m 1 :m 2
- Para la coordenada x de R, multiplica x 2 por m 1 y x 1 por m 2 y suma los productos. Divide la suma por m 1 +m 2
- Para la coordenada y de R, multiplique y 2 con m 1 e y 1 con m 2 y sume los productos. Divide la suma por m 1 +m 2
Derivación de fórmula
Sean P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) los dos extremos de una recta dada en un plano de coordenadas, y R(x,y) el punto de esa recta que divide a PQ en la razón m 1 :m 2 tal que
PR/RQ=m 1 /m 2 …(1)
Dibuje las líneas PM, QN y RL perpendiculares en el eje x y a través de R, dibuje una línea recta paralela al eje x para encontrar MP en S y NQ en T.
Por lo tanto, a partir de la figura, podemos decir,
SR = ML = OL – OM = x – x 1 …(2)
RT = LN = ENCENDIDO – Ol = x 2 – x …(3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y 1 …(4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y 2 – y …(5)
Ahora SPR es similar a TQR
SR/RT = PR/RQ
Usando las ecuaciones 2, 3 y 1, sabemos,
x – x 1 / x 2 – x = metro 1 / metro 2
metro 2 x – metro 2 x 1 = metro 1 x 2 – metro 1 x
metro 1 x + metro 2 x = metro 1 x 2 + metro 2 x 1
(metro 1 + metro 2 )x = metro 1 x 2 + metro 2 x 1
x = (m 1 x 2 + m 2 x 1 ) / (m 1 + m 2 )
Ahora SPR es similar a TQR,
Por lo tanto,
PS/TQ = PR/RQ
Usando las ecuaciones 4, 5 y 1, sabemos,
y – y 1 / y 2 – y = metro 1 / metro 2
metro 2 y – metro 2 y 1 = metro 1 y 2 – metro 1 y
metro 1 y + metro 2 y = metro 1 y 2 + metro 2 y 1
(m 1 + m 2 )y = metro 1 y 2 + m 2 y 1
y = (m 1 y 2 + m 2 y 1 )/(m 1 + m 2 )
Por lo tanto, las coordenadas de R(x,y) son,
Ejemplos de problemas basados en la fórmula
Problema 1: Calcular las coordenadas del punto P que divide la recta que une A(-3,3) y B(2,-7) en la razón 2:3
Solución:
Sean (x, y) las coordenadas del punto P que divide la línea que une A(-3, 3) y B(2, -7) en la razón 2:3, entonces
Aplicando las fórmulas,
x = (m 1 x 2 + m 2 x 1 ) / (m 1 + m 2 )
x = {2 x 2 + 3 x (-3)} / (2 + 3)
x = (4 – 9) / 5
x = -5 / 5
x = -1
y = (m 1 y 2 + m 2 y 1 ) / (m 1 + m 2 )
y = {2 x (-7) + 3 x 3} / (2 + 3)
y = (-14 + 9) / 5
y = -5 / 5
y = -1
Por tanto, las coordenadas del punto P son (-1, -1).
Problema 2: Si la recta que une los puntos A(4,-5) y B(4,5) se divide por el punto P tal que AP/AB=2/5, hallar las coordenadas de P.
Solución:
Dado AP/AB = 2/5
5AP = 2AB = 2(AP + PB)
3AP = 2PB
AP/PB = 2/3
PA:PB = 2:3
Así, el punto P divide internamente el segmento de recta que une los puntos A(4, -5) y B(4, 5) en la proporción 2:3.
Por lo tanto, las coordenadas de P son,
PAG x = (2 x 4 + 3 x 4)/(2 + 3)
= (8 + 12)/5
= 20/5
= 4
P y = (2 x 5 + 3 x (-5))/(2 + 3)
= (10 – 15)/5
= -5/5
= -1
Las coordenadas de P son (4, -1).
Problema 3: ¿En qué razón el punto P(2, -5) divide el segmento de recta que une los puntos A(-3, 5) y B(4, -9).
Solución:
Sea P(2, -5) dividiendo el segmento de recta que une los puntos A(-3, 3) y B(4, -9) en la razón k:1, es decir AP:PB = k:1
Por lo tanto, las coordenadas de P son,
P x = (k.4 + 1.(-3)) / (k + 1)
P y = (k.(-9) + 1 x 5)/(k + 1)
Pero P es (2, -5) por lo tanto,
(4k – 3) / (k + 1) = 2 y (-9k + 5) / (k + 1) = -5
Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos k = 5/2
Por lo tanto, la relación requerida es 5/2:1, es decir, 5:2 (internamente)