¿Dónde es derivable la función f definida por f(z)=3x2y-y3+x2-3x+i(-x3+3xy2+2y2)? ¿Dónde está el análisis?

El número de la forma x+ iy donde x e y son números reales y ‘i’ es iota (o √-1), ‘i’ o iota es la solución para la ecuación a ² +1=0 se llama números complejos. Un número complejo consta de dos partes, la parte real y la parte imaginaria. En x+iy, x se llama parte real e iy es la parte imaginaria.

Ejemplo de números complejos: 3+i4, -2i,etc. 

Funciones complejas

La función de una variable compleja es una relación que asigna un número complejo, digamos ‘z’, a otro número complejo ‘w’. Y se denota como,

w=F(z)

Si z=x+iy y w=U+ iV, generalmente U y V son funciones implícitas de xey. Y en general ‘w’ se puede denotar como,

w=U(x,y)+ iV(x,y)

Ejemplos de funciones complejas,

• W = z ³
• W = x ² -y ² +5xy+ i(x+y)

Podemos ver en el segundo ejemplo que la parte real y la parte imaginaria de ‘W’ pueden ser la función implícita de xey donde z=x+iy.

Nota: La función implícita se define como una función con posibles variables múltiples.

Ejemplo: 

• G(x,y)= ^x2 + ^y2
•  G (peso, peso) = 5 peso

Función compleja diferenciable

Se dice que una función compleja F[z] es diferenciable en z=z ₀ si existe el siguiente límite en z=z ₀ .

lím _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz  

existe en z=z ₀

En el caso de las funciones reales {digamos F(x)}, solíamos acercarnos al límite solo desde dos direcciones, es decir, límite izquierdo (LHL) y límite derecho (RHL) y solíamos decir si LHL = RHL = F(x) entonces la función es derivable Pero en el caso de funciones complejas hay un número infinito de direcciones desde las cuales se puede aproximar al límite.

Para una mejor comprensión de cómo resolver el límite anterior, consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: comprobar la diferenciabilidad de F(z)=z ² .

Solución:

Sabemos que para que una función sea derivable en cualquier z ₀ debe existir el siguiente límite en z=z ₀ 

lim _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz existe en z=z ₀

Ahora, para que la función sea diferenciable, el valor límite a lo largo de dos direcciones (ruta) debe ser igual.

F(z+δz)-F(z)=(z+δz) ² -z ² =z ² +2zδz+δz ² -z ² = 2zδz+ δz ²

lím _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz 

⇒lim _δz⇢0 (2zδz+ δz2)/δz

Tenemos z=x+ iy y δ z=δ x + iδ y.
Considere la primera ruta a lo largo de la línea horizontal (paralela al eje x), es decir, δy=0

lím _δx⇢0 (δx +(2x+2iy) = 2x+2iy =2z

Considere la segunda ruta a lo largo de la línea vertical (paralela al eje y), es decir, δ x=0.

lím _δy⇢0 (δx +(2x+2iy) = 2x+2iy =2z

Entonces, los valores límite a lo largo de la dirección horizontal y vertical son ambos iguales a 2 (x+iy) o 2z.
Y como la función consta de parámetros polinómicos, también es continua. Por lo tanto, la función F(z)=z ² es diferenciable en todo z ∈ número complejo.

Nota: Si F(z)=z ⁿ  entonces F'(z)=nz ^{n-1} .

Algunas Reglas básicas en Diferenciación de funciones complejas:

• dc/dz = 0 donde c es una constante compleja
• d (f ± g) /dz= df/dz ± dg/dz
• d(cf )/dz = c df/dz donde c es una constante compleja
• d(fg)/dz = g df/dz + f dg/dz
• d/dz ( f/g ) = (g df/dz −f dg/dz)/g ²

Nota: En las reglas mencionadas anteriormente, ‘c’ es una constante compleja y ‘g’ y ‘f’ son funciones complejas.

Condiciones suficientes para que una función compleja sea diferenciable 

Se dice que una función F[z]=U(x,y)+iV(x,y) es diferenciable en la región R de un plano complejo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Las derivadas parciales de U(x,y) y V(x,y) con respecto a xey deben existir y ser continuas.
2. Derivadas parciales de U(x,y) con respecto a x = Derivadas parciales de V(x,y) con respecto a y
3. Derivadas parciales de U(x,y) con respecto a y = (-1 ) × Derivadas parciales de V(x,y) con respecto a x

Teorema: Se dice que una función compleja F[z]=U(x,y)+iV(x,y) es diferenciable en z ₀ si las derivadas de primer orden de U y V con respecto a xey existen y también satisfacen el Cauchy -Ecuaciones de Riemann .

Considere F(z)= U(x,y)+ i V(x,y) donde z=x+ iy, entonces las ecuaciones de Cauchy Riemann están dadas por:

1. (δU/δx) = (δV/δy)
2. (δU/δy) = −(δV/δx)

Trabajando en las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Hasta ahora hemos visto que para que una función F(z) sea diferenciable en z ₀ debe existir el límite dado

 lim _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz existe en z=z ₀

Ahora F(z)=U(x,y) +iV(x,y)

Y entonces F(z+δz)=U(x+δx,y+δy) + V(x+δx,y+δy)

Por tanto, 
∴ {F (z + δz) − F (z)}/δz = {U (x + δx, y + δy) + iV (x + δx, y + δy) − U (x, y) − iV (x, y)}/δx + iδy ⇢(A)

Como (z=x+iy y δz=δx+iδy)

Ahora, según la diferenciabilidad, ya que existe el límite, el valor límite a lo largo de dos direcciones (ruta) debe ser igual.
Considere la primera ruta a lo largo de la línea horizontal (paralela al eje x), es decir, δy=0.
Entonces, poniendo δy=0 en la ecuación (A) obtenemos

F ′(z) = { U (x + δx, y) + iV (x + δx, y) − U (x, y) − iV (x, y) }/δx
F ′(z) ={ U ( x + δx, y) − U (x, y) }/δx + i(V (x + δx, y) − V (x, y))/δx
F ′(z) = δU/δx + i δV/ δx → (B)

Considere la segunda ruta a lo largo de la línea vertical (paralela al eje y), es decir, δx = 0, obtenemos

F ′(z) = { U (x, y + δy) + iV (x, y + δy) − U (x, y) − iV (x, y) }/iδy
F ′(z) = { U ( x, y + δy) − U (x, y) }/iδy + i(V (x, y + δy) − V (x, y))/iδy
F ′(z) = (1/i) δU/ δy + δV/δy

Como (1/i = i/(i ² ) =-i) tenemos,

F'(z)= -i(δU/δy) +(δV/δy) -> (C)

Como sabemos, la diferenciación de una función compleja desde cualquier dirección es igual. Por lo tanto, De (B) y (C) tenemos

F'(z)= -i(δU/δy) +(δV/δy)= (δU/δx) +i(δV/δx)

Igualando las partes reales tenemos
(δU/δx) = (δV/δy)
Igualando la parte imaginaria tenemos
δU/δy = −(δV/δx)

Por lo tanto, así es como llegamos a las ecuaciones de Cauchy Riemann.

analiticidad

Se dice que una función compleja F(z) es analítica en z = z ₀ si es derivable en z = z ₀ y también en algunas vecindades de z ₀ .
Vecindad: La vecindad de un punto z ₀ es un conjunto de todos los puntos z donde |z − z ₀ | < k donde k es una constante positiva.
Si una función compleja es analítica en un dominio particular, eso significa que es analítica en cada punto de ese dominio. Si una función compleja es completamente analítica (para todo z en el plano complejo), entonces la función se conoce como la función completa.
Nota: Las funciones polinómicas complejas de z son funciones enteras. A continuación se muestra un ejemplo:
Ejemplo F (z) = z ³ + 3z ²− 6z será analítico en todas partes.
Un punto crucial a tener en cuenta es que si una función es analítica en una región, entonces definitivamente será diferenciable en esa misma región, pero viceversa puede que no siempre sea cierto. Una función analítica satisfará las Ecuaciones de Cauchy Riemann.
Veamos cómo verificamos la analiticidad con un ejemplo:

Ejemplo: discuta la analiticidad de F (z) = e ^x (cosy + i siny)

Solución:

Tenemos U (x, y) = e ^x acogedor y V (x, y) = e ^x seno
δU/δx = e ^x acogedor
δU/δy = −e ^x seno
δV/δx = e ^x seno
δV/δy = e ^x cosy
Entonces podemos ver claramente que las ecuaciones de cauchy reimann se cumplen
δU/δx = δV/δy = e ^x cosy
δU/δy = − δV/δx = e ^x seno

Y las ecuaciones de Cauchy-Reimann para la función son verdaderas para todos los valores de x e y, por lo que la función es analítica para todo z en el plano complejo.

Algunas propiedades importantes de la función analítica:

1. Si las funciones complejas F1 y F2 son analíticas, entonces F1 ± F2, F1 ∗ F2 y F1/F2 también lo son, mientras que para F1/F2 tenemos que F2 no es igual a 0.
2. Si una función es una función completa, implica que es analítica, además, implica diferenciabilidad, lo que nuevamente implica continuidad.
   Entero ⇒ Analítico ⇒ Diferenciable ⇒ Continuidad.

¿Dónde es diferenciable la función f definida por f(z)=3x ² y − y ³ + x ² − 3x + i(−x ³ + 3xy ² + 2y ² )? ¿Dónde está el análisis?

Responder:

F (z) = U (x, y) + iV (x, y)
F (z) = 3x ² y − y ³ + x ² − 3x + i(−x ³ + 3xy ² + 2y ² )
U (x , y) = 3x ² y − y ³ + x ² − 3x y V (x, y) = −x ³ + 3xy ² + 2y ²
Como tanto U como V son funciones polinómicas, las derivadas parciales de U y V con respecto a x y y existirá y será continua.
Derivadas parciales de U(x,y) wrt x= δU/δx = 6xy + 2x − 3
Derivadas parciales de V(x,y) wrt x= δV/δx = 3y ² − 3x ²
Derivadas parciales de U(x,y) ) con y= δU/δy = 3x² − 3y ²
Derivadas parciales de V(x,y) con y= δV/δy = 6xy + 4y

Las derivadas parciales de U y V wrt xey son funciones polinómicas, por lo que existen y son continuas en todas partes.
Ahora de acuerdo con las ecuaciones de Cauchy Reimann tenemos
δU/δx = δV/δy
δU/δy = − δV/δx
Igualando δU/δx y δV/δy obtenemos
2x − 3 = 4y
Igualando δU/δy y − δV/δx claramente podemos vea que
δU/δy = − δV/δx = 3x ² − 3y ²
Por lo tanto, para todo z = x + iy que tenga los valores de xey que satisfagan la condición lineal 2x − 3 = 4y, la función F (z) será diferenciable.
F (z) es derivable solo a lo largo de la línea 2x − 3 = 4y , no a través de ninguna región (vecindad) R. Por lo tanto, F (z) no es analítico en ninguna parte .

Problemas de muestra

Problema 1: Demostrar que la función entera mayor definida por f(x) = [x] , 4 < x < 8 no es derivable en x = 5 y x = 6.

Solución:

Como la pregunta dada f(x) = [x] donde x es mayor que 4 y menor que 8. Entonces tenemos que verificar que la función sea diferenciable en el punto x = 5 y en x = 6 o no. Para verificar la diferenciabilidad de la función, como discutimos anteriormente en Diferenciación, LHD en (x = a) = RHD en (x = a), lo que significa,

Lf’ en (x = a) = Rf’ en (x = a) si no son iguales después de resolver y poner el valor de a en lugar de x entonces nuestra función no debería diferenciarse y si ambos son iguales entonces podemos decir que la función es derivable en x = a, tenemos que resolver para dos puntos x = 5 y x = 6. Ahora, resolvamos para x = 5

f(x) = [x]

Ponga x = 5 + h

Rf’ = lím _{h -> 0} f(5 + h) – f(5)

= límite _{h -> 0} [5 + h] – [5]

Como [h + 5] = 5

= lím _{h -> 0} (5 – 5) / h = 0

Lf'(1) = lím _{h -> 0} [f(5 – h) – f(5)] / -h

= límite _{h -> 0} ( [5 – h] – [5] ) / -h

Dado que [5 – h] = 4

= lím _{h -> 0} (4 – 5) / -h

= -1 / -0

= ∞

De la solución anterior se ve que Rf’ ≠ Lf’, por lo que la función f(x) = [x] no es diferenciable en x = 5. Ahora, verifiquemos x = 6. Como resolvimos para x = 5 en el mismo vamos a resolver para x = 6. La condición debe ser la misma tenemos que comprobar que, Lf’ en (x = 6) = Rf’ en (x = 6) o no si son iguales entonces nuestra función es derivables en x = 6 y si no son iguales nuestra función no es derivable en x = 6. Entonces, resolvamos.

f(x) = [x]

Diferenciabilidad en x=6

Ponga x = 6+h

Rf'(6) = lím _{h -> 0} f(6 + h) – f(6)

= lím _{h -> 0} ([6 + h] – [6]) / h

Ya que, 6 + h = 6

= lím _{h -> 0} (6 – 6) / h

= lím _{h ->0} 0 / h

=0

Lf'(6) = lím _{h -> 0} (f(6 – h) – f(6)) / -h

= límite _{h -> 0} ([6 – h] – [6]) / -h

= lím _{h -> 0} (5 – 6) / -h

Dado que [5 – h] =6

= -1 / -0

= ∞

De la solución anterior se ve que Rf'(2) ≠ Lf'(2), por lo que f(x) = [x] no es diferenciable en x = [6]

Problema 2: f(x) =   Demuestra que la función anterior no es derivable en x = 0.

Solución:

Como sabemos, para verificar la diferenciabilidad, tenemos que encontrar Lf’ y Rf’ y luego, después de compararlos, sabemos si la función es diferenciable en el punto dado o no. Así que primero encontremos el Rf'(0).

Rf'(0) = lím _{h -> 0} f(0 + h) – f(0)

= lím _{h -> 0} (f(h) – f(0)) / h

= lím _{h -> 0} h . [{(e(1 / h) + 1) / (e(1 / h) – 1) } – 0]/h

= lím _{h -> 0} (e(1 / h) + 1) / (e(1 / h) – 1)

Multiplicar por e(1/h)

= lím _{h -> 0} {1 + e(1/h) / 1 – e(1/h)}

= (1 + 0) / (1 – 0)

= 1

Después de resolver, encontramos que el valor de Rf'(0) es 1. Ahora, después de esto, busquemos Lf'(0) y luego verificaremos si la función es diferenciable o no.

Lf'(0) = lím _{h -> 0} { f(0 – h) – f(0) } / -h

= lím _{h -> 0} -h . [{e(-1 / h) + 1 / e(-1 / h) – 1} – 0] / -h

= lím _{h -> 0} { (e(-1 / h) + 1) / (e(-1 / h) – 1) }

= lím _{h -> 0} { (1 + e(-∞)) / (1-e(-∞))}

= (0 + 1) / (0 – 1)

= -1  

Como vimos después de resolver Lf'(0) el valor que obtenemos es -1. Ahora comprobando si la función es diferenciable o no, Rf'(0) ≠ Lf'(0) (-1≠1). Como Rf'(0) ≠ Lf'(0), entonces f(x) no es diferenciable en x = 0.

Problema 3: Una función es f(x) definida por

f(x) = 1 + x de x < 3

f(x) = 5 – x de x ≥ 3
 

Comprueba si la función f(x) es diferenciable en x = 3.

Solución:

Entonces, para encontrar Lf'(3) tomamos la función f(x) = 1 + x, de la misma manera para encontrar Rf'(3) tomamos la función f(x) = (5 – x). Averigüemos Lf'(2) y Rf'(2)

Lf'(3) = lím _{h -> 0} {f(3 – h) – f(3)} / -h

= lím _{h -> 0} [[(2 – h) + 1] – [5 – 2]] / -h

= lím _{h -> 0} (3 – h – 3) / -h

= lím _{h -> 0} -h/h

= -1

Rf'(3) = lím _{h -> 0} {f(3 + h) – f(3)} / h

= lím _{h -> 0} [[5 – (3 + h)] – 2] / h

=lím _{h -> 0} h / h

= 1  

En la primera línea Lf'(3) después de poner la fórmula, para f(3) estamos poniendo la segunda función (5 – x). Después de resolver Lf'(3) obtenemos el valor -1. Para calcular Rf'(3) estamos usando la segunda función 5-x y poniendo la fórmula de Rf’, al resolver Rf'(3) obtenemos el valor 1. Ya que, Rf'(3) ≠ Lf'( 3) por lo que podemos decir que la función f(x) no es diferenciable en x = 3.