Ecuación de Bernoulli

Cuando se pregunta a menudo cómo genera sustentación un avión o cómo funcionan las geniales pistolas de pintura, la respuesta más común es el Principio de Bernoulli, una respuesta aparentemente simple de dos palabras a un fenómeno francamente de múltiples capas. Este concepto de fluidos y sus propiedades mecánicas puede parecer un tema difícil de entender, en gran parte debido a las largas ecuaciones de derivación y las representaciones poco atractivas. Sin embargo, recuerda que comprender la idea es clave. Visualizar el concepto puede hacer maravillas para cualquier solucionador de problemas.

En este artículo, ayudaremos a construir la definición y la perspectiva del Principio de Bernoulli y, por lo tanto, la ecuación asociada (como todo lo que alguna vez se explicó en física, usando ecuaciones).

El principio de Bernoulli

Como se muestra arriba, la ecuación de Bernoulli es simplemente una expresión matemática que ayuda a relacionar la velocidad, la presión y la elevación de un fluido. Esta relación se construyó teniendo en cuenta que la energía se conserva a lo largo del movimiento del fluido. Por lo tanto, observamos las formas de energía asociadas con el fluido.

Energía debida a la presión del fluido (presión estática): es simplemente la energía del sistema cuando el fluido está estático y ofrece presión a las paredes del recipiente. Es efectivamente la presión estática.
Energía cinética debida al movimiento del fluido: la energía evidente asociada con cualquier masa en movimiento; aquí, el movimiento del fluido da como resultado la existencia de esta forma de energía. Otra forma de interpretar esto es la energía asociada con la presión dinámica.
Energía potencial gravitatoria desde la elevación: la energía potencial es un concepto bastante referencial. Aquí la elevación del fluido explica la acumulación de tal energía potencial. En otras palabras, esto surge debido a la presión hidrostática.

Por lo tanto, por definición:

La energía mecánica total , que se define como la suma de todas estas energías (cinética, potencial gravitacional y fluido), debe permanecer constante a menos que se realice algún trabajo en el sistema. Este es el Principio de Bernoulli.

Por lo tanto, se puede escribir la siguiente expresión:

$P + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h = constant$

La relación más evidente que se puede establecer con esta expresión es el tipo de proporcionalidad entre la presión de un fluido y su velocidad. En cualquier elevación específica que sea constante, la energía potencial gravitacional también puede tomarse como constante. En consecuencia, nos quedamos con la siguiente expresión y entendimiento.

P + (½)ρv ² = k

∴ PAG = k – (½)ρv ²

A medida que P aumenta, v disminuye.

Claramente, la presión y la velocidad son inversamente proporcionales. Esta idea será aplicada más adelante en las secciones siguientes. Tenga en cuenta que todavía estamos dando vueltas alrededor del principio. Necesitamos derivar la ecuación para que podamos tratar con diferentes instancias del mismo sistema .

Como se ha establecido que el Principio de Bernoulli es una manifestación del principio de Conservación de la Energía, procederemos considerando el trabajo realizado para mover el fluido a lo largo de una línea de corriente de un punto a otro. Representamos la densidad del fluido por ρ.

El fluido fluye del punto A al punto B

Suponemos que el fluido en los puntos A y B se eleva a alturas de h ₁ y h ₂ , respectivamente. Es evidente que la energía potencial gravitatoria en h ₂ es mayor. Además, observe que el área de la sección transversal en el Punto A es A ₁ y en el Punto B es A ₂ . Ahora, si se va a realizar algún trabajo, el fluido tendría que moverse una cierta distancia, lo que implica también una velocidad asociada.

Si el fluido se mueve dx ₁ desde el punto A y dx ₂ desde el punto B, lo hará alcanzando una velocidad de v ₁ y v ₂ , respectivamente. Calcularemos nuestra derivación con la siguiente expresión:

dW = d(Energía cinética del fluido) + d(Potencial gravitacional del fluido)

o

dW = dK + dU

El trabajo realizado por el fluido cuando se mueve del Punto A al Punto B como dW = dW ₁ – dW ₂ . Como el fluido se desplaza dx ₁ y dx ₂ , reescribimos la expresión en términos de las fuerzas experimentadas en los puntos A y B.

dW = F ₁ .dx ₁ – F ₂ .dx ₂ = PAGS ₁ .A ₁ .dx ₁ – PAGS ₂ .A ₂ .dx ₂

F ₁ y F ₂ son las fuerzas experimentadas por el fluido en los puntos A y B, respectivamente. Ahora, recuerda que la Fuerza es la Presión experimentada por unidad de Área. Entonces se puede modificar la expresión para dW. Tenga en cuenta que A ₁ dx ₁ = A ₂ dx ₂ = volumen diferencial (volumen elemental/pequeño), ya que cualquier área multiplicada por una longitud adyacente da un volumen. Digamos que dV es el volumen diferencial.

dW = P ₁ .dV – P ₂ .dV = (P ₁ -P ₂ ).dV

Mientras tanto, la expresión de la energía cinética del fluido se puede escribir utilizando las masas y velocidades del fluido en A y B. Usaremos la expresión estándar para la energía cinética asociada con una masa en movimiento, es decir, dK = 0,5 m ₂ v ₂² – 0,5 m ₁ contra ₁²

Recuerde que se nos ha dado la densidad del fluido (ρ) y los volúmenes diferenciales de fluido (dV). Como nos gustaría trabajar con menos términos, podemos usar lo anterior para expresar las masas del fluido en los puntos A y B alternativamente. Por lo tanto, tenemos:

dK = ½ρdV (v ₂² – v ₁² )

La energía potencial gravitacional asociada es bastante sencilla. Una vez más, podemos simplificarlo aún más expresando las masas alternativamente, es decir, Masa es Densidad por Volumen. El GPE se denota por dU.

dU = metro ₁ gh ₁ – metro ₂ gh ₂ = ρdVg (h ₂ – h ₁ ).

Igualando los dos lados de la ecuación (dW = dK + dU), obtenemos la siguiente expresión:

(P ₁ – P ₂ )dV = ½ρdV (v ₂² – v ₁² ) + ρdVg (h ₂ – h ₁ )

PAGS ₁ – PAGS ₂ = ½ρv ₂² – ½ρv ₁² + ρgh ₂ – ρgh ₁

$\mathbf{{\color{DarkGreen}P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\:\rho gh_{1} = P_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}\;+\rho gh_{2}}}$

Esta es de hecho la Ecuación de Bernoulli.

Al derivar esta expresión, hicimos algunas suposiciones para resaltar la dinámica del problema. Una suposición bastante significativa es la incompresibilidad del fluido. Esta propiedad nos permitió hacer invariable la densidad en relación a la presión en diferentes puntos de la tubería. A continuación se explica cómo afectó esto a nuestra ecuación.

Ecuación de Continuidad

El cambio en la densidad, aunque sea un poco, si no tan considerablemente, es bastante común en la realidad. Por lo tanto, ningún fluido es perfectamente incompresible. Puede decir que un líquido es mucho más incompresible que un gas, pero no literalmente incompresible. Dicho esto, esto afecta la masa del fluido considerado para los cálculos de energía.

Dado que la densidad permanece constante en todo momento, la masa muestreada también permanece equivalente siempre que los volúmenes también sean equivalentes: los volúmenes utilizados en los cálculos anteriores fueron diferenciales/elementales, es decir, dV y, por lo tanto, iguales. Como resultado, nuestras masas eran iguales. ¿Cómo podemos entender esto mejor?

Una perspectiva diferente: Conservación de la Masa

Considere el siguiente diagrama.

Las próximas líneas de este artículo se apegarán estrechamente a la idea de la conservación de la masa: la velocidad a la que cierta masa fluye hacia la tubería al principio debe ser la misma velocidad a la que sale de la tubería. Esto es crucial.

Velocidad a la que entra la masa = Velocidad a la que sale la masa

La masa es esencialmente densidad (ρ) por volumen. Entonces, podemos expresar las masas en esos términos y equiparar las diferentes instancias de flujo, al principio y al final. Las velocidades ciertamente diferirán debido a las diferentes presiones. Hasta ahora tenemos,

ρdV ₁ = ρdV ₂

donde V ₁ es el volumen al principio (una parte izquierda de la tubería). V ₂ es el volumen al final (región sombreada más a la derecha). No las confunda con las velocidades v ₁ y v ₂ . Los volúmenes pueden visualizarse como cilindros, en términos de su área de sección transversal y altura: los cilindros tienen un volumen expresado como área de sección transversal x altura de su cuerpo. Entonces, si los cilindros tienen alturas de dx ₁ y dx _2,

ρA ₁ dx ₁ = ρA ₂ dx ₂

Dado que estamos tratando con la ‘VELOCIDAD’ de masa, mediremos el flujo en intervalos iguales de tiempo, Δt. Podemos expresar el desplazamiento en términos de la velocidad de los fluidos v ₁ y v ₂ .

ρ.A ₁ .v ₁ .Δt = ρ.A ₂ .v ₂ .Δt

∴ UN ₁ v ₁ = UN ₂ v ₂

Esta es la Ecuación de Continuidad. Resulta útil cuando se trata de varias aplicaciones del Principio de Bernoulli.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

(1) Barcos estrellados

Una historia aterradora del pasado, dos barcos chocando entre sí cuando viajaban en paralelo es un ejemplo clásico del Principio de Bernoulli en juego.

Una presión más alta en el exterior de los barcos conduce a una colisión

Imagina dos barcos navegando paralelos entre sí a la misma velocidad. Dado que la parte central del bote es la más ancha, actúa como un embudo o tubería para el agua entre los dos botes. Esta disminución y aumento en el área de paso del agua conduce a un aumento en la velocidad (Principio de Bernoulli). Sin embargo, una vez que aumenta la velocidad, la presión entre el barco disminuye. Como resultado, para estabilizar esta presión más baja, el agua del exterior empuja hacia adentro y hace que los barcos se acerquen entre sí.

(2) Perfiles aerodinámicos y elevación

Muchos atribuyen la razón detrás del vuelo solo al Principio de Bernoulli. Sin embargo, otro principio, el efecto Coanda, también está en juego cuando se trata de generar la cantidad necesaria de fuerza de sustentación para que un avión despegue.

El aire incidente debe pasar por encima y por debajo del perfil aerodinámico. Al hacerlo, el aire viaja una distancia adicional sobre la parte superior del ala. De acuerdo con el efecto Coanda, el aire viaja más rápido a lo largo de superficies curvas. Entonces, el aire está a una velocidad más alta que el perfil aerodinámico. Según el principio de Bernoulli, una mayor velocidad del fluido conduce a una región correspondiente de menor presión. Mientras tanto, la presión debajo del perfil aerodinámico es relativamente más alta. Esta diferencia de presiones conduce a una fuerza hacia arriba, la fuerza de sustentación, que es la única razón detrás del vuelo y las estructuras de las alas de los aviones.

(3) Desviación de una bola giratoria de su trayectoria

Se observa que cualquier pelota cuando se lanza normalmente (sin ningún giro) sucumbe a los efectos de la gravedad y traza una trayectoria parabólica. Sin embargo, cuando a la pelota se le proporciona un giro, se desvía de su trayectoria y sube o baja dependiendo de la dirección del giro y del aire relativo.

Cuando la pelota gira y el aire se mueve hacia la pelota, la línea de corriente del aire es arrastrada junto con la pelota, que es lo que vemos en la mitad superior de la figura de arriba. Mientras tanto, la dirección del aire debajo de la pelota es contraria al giro, lo que genera una resistencia mínima (la línea aerodinámica continúa normalmente). Dado que el aire de arriba debe atravesar una mayor distancia sobre y junto con la pelota, debe hacerlo con mayor velocidad. Una velocidad más alta se asocia con una presión más baja según el Principio de Bernoulli. Esta diferencia de velocidades y, posteriormente, las presiones generadas conducen a un levantamiento dinámico que hace que la pelota se eleve. Este efecto también se conoce como el Efecto Magnus.que es un tema importante en todos los deportes de pelota ya que la acción de girar conduce a un movimiento desviado (deseado o no deseado según las circunstancias).

Problemas de muestra

Problema 1. Ahora que tenemos una idea de cómo se usa el Principio de Bernoulli para explicar el vuelo, ¿cómo explicaría el vuelo cuando un avión vuela boca abajo?

Solución:

Considere un perfil aerodinámico, excepto invertido a lo largo del eje x.

La parte confusa radica en cómo hay una región de menor presión debajo debido a una mayor velocidad a lo largo de las líneas de corriente. Además, el aire es más lento arriba, lo que significa que el avión lógicamente se estrellaría al ser empujado hacia abajo. Sin embargo, aquí está la parte inteligente. Los aviones, como los aviones de acrobacias o los aviones de combate, a menudo recurren a alas simétricas que pueden inclinarse para proporcionar sustentación. Dado que son en gran medida simétricos, las velocidades arriba y abajo son relativamente iguales. Sin embargo, para generar sustentación, inclinar las alas hacia arriba en un ángulo mínimo ayuda a mantener el avión en vuelo. Esta inclinación también se conoce a veces como el ángulo de ataque.

Problema 2: Dos tanques cilíndricos con áreas de sección transversal A y 2A respectivamente se mantienen sobre un piso horizontal. El primer tanque se llena hasta una altura de H mientras que el otro está vacío. Si están conectados por una tubería con una sección transversal despreciable y están ‘a’ en el fondo en el tiempo t = 0, encuentre cuánto tiempo tomaría para que las alturas en los dos tanques se igualaran.

Solución:

Tome el cilindro de la izquierda como el punto 1, el tubo como el punto 2 y el cilindro de la derecha como el tubo 3. Muchos estudiantes cometen el error de aplicar directamente la ecuación de Bernoulli entre los dos cilindros. Esto es incorrecto ya que hay una pérdida de energía cuando el líquido fluye de la tubería al cilindro 3 debido a las colisiones inelásticas cuando el líquido choca con alguna masa del líquido en el cilindro 3 a medida que se llena (mira abajo).

Hay conservación de energía solo entre el cilindro 1 y la tubería. Sin embargo, ¡hay conservación de la masa en todas partes! Esto significa que podemos usar la ecuación de continuidad. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

A ₁ v ₁ = av ₂ = A ₂ v ₃ (ecuación de continuidad)

Ahora, tome la diferencia de alturas como y, es decir, h – h’ = y

Necesitamos que esta diferencia sea igual a 0 ya que las alturas serán iguales en algún punto. La tasa o qué tan rápido sucede esto se puede escribir como un diferencial.

dy/dt = -(v ₁ + v ₃ ) ……………v ₁ hacia abajo y v ₃ hacia arriba)

⇒ dy/dt = -v ₁ (1+A ₁ /A ₂ ) ………tomando v ₁ común y escribiendo v ₃ /v ₁ usando la ecuación de continuidad.

$\por lo tanto v_{1} = \frac{-A_{2}}{A_{1}+A_{2}}\left(\frac{dy}{dt} \right)$

Ahora, apliquemos la Ecuación de Bernoulli entre el cilindro 1 y la tubería:

PAGS ₁ + (1/2)ρv ₁² +ρgh = P2 + (1/2)ρv ₂² + ρgh’

⇒ ρg(h – h’) = (1/2)ρv ₁² ((A ₁² /a ² ) – 1) ……………reordenando y usando la ecuación de continuidad para (v ₂ /v ₁ ) .

$\sqrt{2gy} = \frac{-A_{2}}{A_{1}+A_{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)\frac{A_{1}}{a }$

En el paso anterior estamos aproximando ((A ₁² /a ² ) – 1) a A ₁ /a ya que a<<A ₁ . En el siguiente paso integraremos la ecuación diferencial llevando dy a un lado y dt al otro.

$-\int_{H}^{0}\frac{dy}{\sqrt{y}} = \frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}\left( \ fracción{1}{a}\right)\int_{0}^{t}dt$

Los límites para y tienden de H a 0 ya que queremos que las diferencias de altura sean iguales a 0 al final.

El tiempo transcurrido sería = $\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}\left( \frac{1}{a}\right) \sqrt{\frac{2H}{g}}$

Problema 3: El agua fluye a través de una tubería horizontal con un área de sección transversal de 4 m ² a 5 m/s con una presión de 0,3 MPa en el punto A. En el punto B, el área de sección transversal es de 2 m ² . ¿Cuál es la velocidad del agua en el punto B? Calcule la presión en el punto B.

Solución:

Visualicemos el caso que se nos presenta.

Usando la ecuación de continuidad, podemos resolver la velocidad en el punto B. A ₁ xv ₁ = A ₂ xv ₂

Por lo tanto, v ₂ = (A ₁ xv ₁ )/A ₂

⇒ v2 ₌ (4 x 5)/2 m/s = 10 m/s

Ahora calculemos la velocidad en el punto B. Observe cómo ha aumentado la velocidad. Esto significa que la presión disminuiría en proporción, según el principio de Bernoulli. Esto nos ayudará a verificar nuestra respuesta. Usando la ecuación de Bernoulli:

P ₁ + (1/2)ρv ₁² + ~~ρgh~~ = P ₂ + (1/2)ρv ₂² + ~~ρgh~~ ……….ya que la elevación del fluido es la misma.

⇒ 0,3× ¹⁰⁶ + 0,5x1000x25 = ^P2₊ 0,5x1000x102

⇒ P2 ₌ 0,2625 MPa

Problema 4. Por un tubo de radio constante = 10 cm fluye agua con una velocidad de 4 m/sy una presión de 250 kPa. Encuentre la velocidad en la salida y mencione qué ley de conservación se usa en este cálculo. ¿Cuál es la presión en el punto B?

Solución:

Si el radio de la tubería se mantiene constante en todo momento, el área de la sección transversal de la salida se mantendría igual. Con base en la ecuación de continuidad, A ₁ xv ₁ = A ₂ xv ₂ , dado que las áreas son iguales, la velocidad del agua en la salida es de 4 m/s. v ₂ = 4 m/s . La ecuación de continuidad se basa en la Conservación de la Masa.

Usando la Ecuación de Bernoulli, sustituya los valores de presión, velocidad y altura en el punto A y la velocidad y elevación en el punto B. Tome la densidad del fluido como 1000 kg/m ³ .

⇒ 250 kPa + ~~0,5x1000x16~~ + 1000×9,8×0 = P2 ₊ 1000×9,8×10 + ~~0,5x1000x16~~

⇒ P2 ₌ 152 kPa

Problema 5: Consulte la figura a continuación y organice las presiones en los puntos A, B y C en orden ascendente. Haz lo mismo con las velocidades en los puntos A, B y C.

Solución:

Primero calculemos las velocidades. Sabemos que v _a = 16 m/s . Dado que las áreas en el punto A y el punto B son las mismas, las velocidades también seguirán siendo las mismas. Muchos estudiantes pueden encontrar esto confuso ya que la velocidad aumenta a medida que caes. Sin embargo, en este caso, la presión aumenta debido a un cambio en la altura; recuerde tomar nota de esto. Entonces, _vb = 16 m/ s

Usando la ecuación de continuidad, A _b xv _b = A _c xv _c . Por lo tanto, vc = (5/7) x 16 m/ _s = 11,429 m/s .

⇒ v _a = v _b > v _c

Ahora podemos encontrar la presión en el punto B usando las velocidades obtenidas. A partir de la ecuación de Bernoulli entre A y B, podemos encontrar la presión en el punto B.

P _a + ~~(1/2)ρv _a²~~ + ρgh = P _b + ~~(1/2)ρv _b²~~ + ρgh , ya que las velocidades en los puntos A y B son las mismas.

⇒ 300 kPa + 1000×9,8×16 = P _b + 1000×9,8×0

⇒ P _b = 156,8 kPa

Usando la Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C obtenemos lo siguiente:

P _a + (1/2)ρv _a² + ρgh = P _c + (1/2)ρv _c² + ρgh ⇒ 300 + 0,5x1000x256 + 1000×9,8×20 = P _c + 0,5x1000x(11,429) ² + 1000 ×9.8×0

⇒ P _c = 258,9 kPa

⇒ _pag < pag < _pag_{_}

Pregunta 6. Una casa está diseñada para resistir grandes torrentes de viento con velocidades máximas de 80 m/s. La superficie del techo es A = 450 m. ¿Cuánta fuerza pueden soportar los soportes del techo? Tome la densidad del aire = 1.029 kg/m ³

Solución:

Suponga dos puntos alrededor del techo: uno afuera y otro adentro. En una escala mayor, la distancia entre los puntos sería bastante pequeña. Refiérase a la figura de abajo.

Lógicamente, no debemos sentir los vientos dentro de casa. Así que podemos suponer la velocidad dentro de o v _a = 0. Dado que los puntos están bastante cerca uno del otro, se puede suponer que están elevados a la misma altura. Nuestra Ecuación de Bernoulli ahora es bastante simple.

⇒ PAGS _UNA + (1/2)ρv _UNA² + ~~ρgh~~ = _PAGS segundo + (1/2)ρv _segundo² + ~~ρgh~~

Como v _A = 0, ⇒ P _A – P _B = (1/2)ρv _B²

⇒ ΔP = (1/2)ρv ^segundo₂

⇒ Fuerza / Área del Techo = ΔP

⇒ Fuerza = 0.5ρv _B² x Área

⇒ Fuerza = 0,5 x 1,029 x 80 ² x 450

El techo puede soportar una fuerza máxima de 1.481 x 10 ⁶ N.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por siddhant_baroth y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

El principio de Bernoulli