Ecuación de movimiento por método gráfico

Un famoso científico británico, Issac Newton, derivó tres ecuaciones de movimiento que describen los conceptos más fundamentales del movimiento de un objeto. Estas ecuaciones gobiernan el movimiento de un objeto en una, dos y tres dimensiones. Estas ecuaciones se usan fácilmente para calcular los valores o las expresiones de la posición, la velocidad o la aceleración de un objeto en varios momentos. Primero comprendamos el concepto básico de movimiento y los diferentes términos relacionados con él.

¿Qué es el movimiento?

El movimiento se puede describir como un cambio en la posición del objeto con respecto al tiempo. La posición se puede medir usando un punto de referencia y calculando la distancia del objeto desde el punto de referencia. El tiempo se puede calcular utilizando un reloj de velocidad que determinará el tiempo necesario para cambiar la posición. Hay muchos grandes científicos que trabajaron y derivaron alguna ecuación o teoría para estudiar el movimiento como Galileo Galilei e Isaac Newton.

Antes de discutir la ecuación de movimiento, primero revisemos los términos básicos relacionados con el movimiento de un objeto. El movimiento de un objeto se puede describir usando cuatro términos diferentes que son los siguientes:

Distancia

La medida real del cambio total en la posición de un objeto (en un período de tiempo particular) se llama Distancia . 

La distancia (d) es una cantidad escalar y, por lo tanto, solo da la magnitud. 

Por ejemplo , considere la figura a continuación, hay un automóvil que se mueve de la posición A a la posición B. El velocímetro en el automóvil mostrará la distancia recorrida desde el punto A hasta el punto B.

Distancia recorrida en coche

Desplazamiento

La medida más corta del cambio neto en la posición de un objeto (en un intervalo de tiempo específico) se llama desplazamiento . 

El desplazamiento es una cantidad vectorial y, por lo tanto, da tanto una magnitud como una dirección.

Por ejemplo , considere la siguiente figura, hay un automóvil que se mueve de la posición A a la posición B. El desplazamiento es igual a la distancia recorrida en cierta dirección del movimiento.

Desplazamiento del coche

Velocidad

La velocidad de un objeto es la medida para determinar qué tan rápido o lento se mueve el objeto o cambia su posición.

La velocidad es igual a la tasa de cambio de tiempo en la distancia recorrida por el objeto. 

Por ejemplo , supongamos un ventilador que funciona muy rápido, pero es rápido con respecto a su estado estacionario, si también gira a la misma velocidad que el ventilador, verá que ni siquiera se mueve. 

Matemáticamente, la velocidad de un objeto se da como:

Dado que tanto el tiempo como la distancia son cantidades escalares, la velocidad también es una cantidad escalar. 

La unidad SI de velocidad es m/s.

Velocidad

La tasa de cambio de desplazamiento de un objeto con respecto al tiempo, o la tasa de cambio de posición, se llama velocidad .

Gráficamente, es la pendiente de la función de desplazamiento. Es una cantidad vectorial y, por lo tanto, da tanto una magnitud como una dirección.

Matemáticamente, la velocidad se define como:

La unidad SI de velocidad es la misma que la velocidad, es decir, m/s. La diferencia entre la rapidez y la velocidad de un objeto es que la rapidez es una cantidad escalar mientras que la velocidad es una cantidad vectorial.

Aceleración

El cambio en la velocidad de un objeto por unidad de tiempo, o la tasa de cambio de la función de velocidad con respecto al tiempo, se define como la aceleración. 

Gráficamente, es la pendiente de la función de velocidad. La aceleración es una cantidad vectorial y, por lo tanto, da tanto una magnitud como una dirección.

Matemáticamente, la aceleración se define como:

¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento?

Las ecuaciones que explican la naturaleza y el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo se denominan ecuaciones de movimiento. Hay tres ecuaciones de movimiento que se pueden usar para calcular los componentes del movimiento como la distancia, el desplazamiento, la velocidad (inicial y final), el tiempo (t) y la aceleración (a) de un objeto. Las siguientes son las tres ecuaciones de movimiento:

• Primera Ecuación de Movimiento:              v = u + at
• Segunda Ecuación de Movimiento:         s = ut + 1/2(a ² )
• Tercera Ecuación de Movimiento:           v ² = u ² – 2as

donde, v y u son las velocidades inicial y final, a es la aceleración, t es el tiempo empleado y s es el desplazamiento de un objeto.

Derivación de ecuaciones de movimiento 

Sobre la base del propósito de la aplicación de diferentes componentes en diferentes soluciones, hay tres formas diferentes de derivar estas ecuaciones:

1. Derivación de las ecuaciones de movimiento algebraicamente , usando la definición y diferentes fórmulas de los componentes del movimiento.
2. Derivación de las ecuaciones de movimiento gráficamente , utilizando la representación gráfica de distancia, velocidad y aceleración de un objeto.
3. Derivación de las ecuaciones de movimiento usando el método integral .

Aquí, en el presente artículo, la derivación de las tres ecuaciones de movimiento se analiza gráficamente como:

Derivación de la primera ecuación de movimiento gráficamente:

La primera ecuación relaciona las velocidades con la aceleración y el tiempo del objeto. Por lo tanto, esta ecuación es aplicable cuando no se da el desplazamiento y también se conoce como relación velocidad-tiempo .

Considere un gráfico de velocidad-tiempo como se muestra a continuación, la velocidad del cuerpo cambia de A a C en el tiempo t a una tasa uniforme. La distancia de A al eje x es la velocidad final y OC es el tiempo total t.

Se dibuja una perpendicular de B a OC, una línea paralela se dibuja de A a D y otra perpendicular se dibuja de B a OE (representada por líneas de puntos).

La gráfica muestra que el objeto tiene una velocidad variable que aumenta de u a v a medida que la pendiente es positiva, la velocidad aumenta en una dirección positiva. 

Ahora calcularemos la aceleración usando este gráfico de movimiento. La aceleración es la tangente del ángulo en el gráfico vt.

Derivación de la segunda ecuación de movimiento gráficamente:

A continuación, el gráfico vt muestra la relación entre la velocidad y el tiempo de un objeto con una velocidad inicial de um/s y una velocidad final de vm/s. Como sabemos que el área de la gráfica vt da el desplazamiento del objeto, calcularemos el área de la gráfica y encontraremos la ecuación de desplazamiento. El mismo gráfico que hemos usado en la derivación anterior pero aquí el enfoque será diferente, antes usamos la pendiente para calcular la aceleración, pero ahora usaremos el área.

                                                       = 1/2

Por lo tanto, el d1/2

Además, de la primera ecuación de movimiento, v – u = en

Sustituye vu por at en la ecuación (1),

re = 1/2

Derivación de la tercera ecuación de movimiento gráficamente:

Tenemos diferentes formas de calcular áreas, como dividir cualquier forma en partes pequeñas y luego sumar el área para convertir el problema en una forma que conocemos bien. En esta derivación, el área de una forma rectangular se convierte y el desplazamiento se calcula utilizando el área de un rectángulo. Esta ecuación se usa cuando no se da el tiempo.

Aquí, P es el punto central, por lo que la velocidad del objeto es (v + u) / 2.

Por tanto, el desplazamiento del objeto (d) = el área del triángulo ABC+ el área del rectángulo ACTO = el área del rectángulo OPQT

El desplazamiento del objeto, d = Largo × Ancho

                                                       = t × (v + u) / 2 ……(2)

Además, de la primera ecuación de movimiento, v – u = at o t = (v – u) / a

Por lo tanto, la ecuación (2) se convierte en:

d = (v – u) / a × (v + u) / 2

v ² = u ² – 2ad 

Problemas de muestra 

Problema 1: el gráfico de velocidad-tiempo para una partícula se muestra a continuación, encuentre la distancia recorrida por la partícula en 40 minutos.

Solución:

Cálculo de la distancia usando el área debajo del gráfico de velocidad-tiempo.

Área bajo la curva dada.

Distancia recorrida por la partícula en 40 min = Área bajo la curva dada.

La forma que se forma bajo la curva es la de un rectángulo, por lo tanto, el área bajo la curva = largo × ancho.

Aquí, la longitud de la forma es equivalente al tiempo empleado, es decir, 40 min o 40 min × 60 s/1 min = 2400 s.

De manera similar, el ancho de la forma es equivalente a la velocidad, es decir, 15 km/ho 15 km/h × 1 h/3600 s × 1000 m/1 km = 4,17 m/s.

Por tanto, el área bajo la curva o la distancia recorrida en 40 min viene dada por:

⇒ 2400 s × 4,17 m/s = 10000 mo 10 km.

Por tanto, la distancia recorrida por la partícula en 40 min es igual a 10 km.

Problema 2: Para el siguiente gráfico, el gráfico calcula la distancia recorrida por la partícula entre los 20 minutos y los 40 minutos.

Solución:

La distancia recorrida por la partícula desde el tiempo t = 20 min hasta 40 min es igual al área bajo la curva dada entre el rango de tiempo dado.

Área resaltada de gráfico de velocidad-tiempo

La forma que se forma bajo la curva es la de un rectángulo, por lo tanto, el área bajo la curva = largo × ancho.

Aquí, la longitud de la forma es equivalente al tiempo empleado, es decir (40 – 20) min o 20 min × 60 s/1 min = 1200 s.

De manera similar, el ancho de la forma es equivalente a la velocidad, es decir, 15 km/ho 15 km/h × 1 h/3600 s × 1000 m/1 km = 4,17 m/s.

Por lo tanto, el área bajo la curva o la distancia recorrida desde el tiempo t = 20 min hasta 40 min está dada por:

⇒ 1200 s × 4,17 m/s = 5004 mo 5,004 km.

Por tanto, la distancia recorrida por la partícula desde el tiempo t = 20 min hasta el 40 min es igual a 5,004 km.

Problema 3: Encuentre la distancia recorrida por una partícula durante el intervalo de tiempo t = 0 s y t = 4 s para el cual la gráfica velocidad-tiempo se da a continuación:

Solución:

Gráfico de velocidad-tiempo

La distancia recorrida por la partícula en t = 0 s y t = 4 s es igual al área bajo la curva.

La forma que se forma bajo la curva es la de un triángulo, por lo tanto, el área bajo la curva = 1/2 × base × altura.

Aquí, la base de la forma es equivalente al tiempo empleado, es decir, 4 s.

De manera similar, la altura de la forma es equivalente a la velocidad, es decir, 20 m/s.

Por tanto, el área bajo la curva o la distancia recorrida en t = 0 s y t = 4 s viene dada por:

⇒ 1/2 × 4 s × 20 m/s = 40 m.

Por tanto, la distancia recorrida por la partícula en t = 0 s y t = 4 s es igual a 40 m.

Problema 4: La siguiente figura muestra la gráfica de distancia-tiempo de tres objetos A, B y C. Determina:

a) ¿Qué objeto se mueve con mayor rapidez?

(b) ¿Qué objeto se mueve con menor rapidez?

Solución:

El gráfico dado es un gráfico de tiempo de distancia y la pendiente nos da el valor de la velocidad, es decir, más la pendiente es más velocidad. 

Como se observa en el gráfico dado, A tiene la máxima pendiente, por lo que se mueve con mayor velocidad y C tiene la menor pendiente, por lo que se mueve con la menor velocidad.

Problema 5: Calcula la velocidad de la partícula con la ayuda del gráfico de movimiento distancia-tiempo dado.

Solución:

Aquí, la velocidad de la partícula es igual a la pendiente del gráfico.

Y la pendiente del gráfico de distancia es igual a la velocidad de la partícula.

Por lo tanto, la fórmula para calcular la velocidad de la partícula es:

Velocidad = Distancia / Tiempo

          = 20 m / 5 s

         = 4 m/s.

Por lo tanto, la velocidad de la partícula es igual a 4 m/s.