Ecuación de una hipérbola

En matemáticas, una hipérbola es una sección cónica significativa que se forma cuando una superficie plana se cruza con un cono doble, pero ciertamente no en el centro. Como resultado de la intersección de un cono doble y la superficie plana, se forman dos curvas ilimitadas, que son imágenes especulares entre sí. Una hipérbola es simétrica a lo largo del eje conjugado y se asemeja a una elipse en muchos aspectos. Una hipérbola es un lugar geométrico de puntos cuya diferencia en las distancias a dos focos es un valor fijo. Esta diferencia se obtiene restando la distancia del foco más cercano a la distancia del foco más lejano. Si P (x, y) es un punto de la hipérbola y F, F’ son dos focos, entonces el lugar geométrico de la hipérbola es PF-PF’ = 2a.

Ecuación de hipérbola

Las ecuaciones estándar de una hipérbola son,

(o)

Una hipérbola tiene dos ecuaciones estándar. Estas ecuaciones de una hipérbola se basan en su eje transversal y eje conjugado. 

• La ecuación estándar de la hipérbola es [(x ² /a ² ) – (y ² /b ² )] = 1, donde el eje X es el eje transversal y el eje Y es el eje conjugado. 
• Además, otra ecuación estándar de la hipérbola es [(y ² /a ² )- (x ² /b ² )] = 1, donde el eje Y es el eje transversal y el eje X es el eje conjugado.

Ecuación de la hipérbola	Hipérbola	Fórmulas de parámetros de una hipérbola
		Coordenadas del centro: (0, 0) Coordenadas del vértice: (a, 0) y (-a, 0) Coordenadas de focos: (c, 0) y (-c, 0) La longitud del eje transversal = 2a La longitud del eje conjugado = 2b La longitud del latus rectum = 2b 2 /a Ecuaciones de asíntotas:  y = (b/a) x y y = -(b/a) x Excentricidad (e) = √[1 + (b 2 /a 2 )]
		Coordenadas del centro: (0, 0) Coordenadas del vértice: (0, a) y (0, -a) Coordenadas de focos: (0, c) y (0, -c) La longitud del eje transversal = 2b La longitud del eje conjugado = 2a La longitud del latus rectum = 2b 2 /a Ecuaciones de asíntotas: y = (a/b) x y y = -(a/b) x Excentricidad (e) = √[1 + (b 2 /a 2 )]

• La ecuación estándar de la hipérbola con centro (h, k) y el eje X como eje transversal y el eje Y como eje conjugado es,

• Además, otra ecuación estándar de la hipérbola con centro (h, k) y el eje Y como eje transversal y el eje X como eje conjugado es

Ecuación de la hipérbola	Hipérbola	Fórmulas de parámetros de una hipérbola
		Coordenadas del centro: (h, k) Coordenadas del vértice:  (h + a, k) y (h – a, k) Coordenadas de los focos: (h + c, k) y (h – c, k) La longitud del eje transversal = 2a La longitud del eje conjugado = 2b La longitud del latus rectum = 2b 2 /a Ecuaciones de asíntotas:  y = (b/a) (x – h) + k y y = -(b/a) (x – h) + k
		Coordenadas del centro: (h, k) Coordenadas del vértice:  (h, k + a) y (h, k – a) Coordenadas de los focos: (h, k + c) y (h, k – c) La longitud del eje transversal = 2a La longitud del eje conjugado = 2b La longitud del latus rectum = 2b 2 /a Ecuaciones de asíntotas: y = (a/b) (x – h) + k y y = -(a/b) (x – h) + k

Derivación de la ecuación de la hipérbola

Consideremos un punto P en la hipérbola cuyas coordenadas son (x, y). Por la definición de la hipérbola, sabemos que la diferencia entre la distancia del punto P a los dos focos F y F’ es 2a, es decir, PF’-PF = 2a.

Sean las coordenadas de los focos F (c, o) y F'(-c, 0).

 

Ahora, usando la fórmula de distancia de coordenadas, podemos encontrar la distancia del punto P (x, y) a los focos F (c, 0) y F ‘(-c, 0).

⇒ √[(x + c) ² + (y – 0) ² ] – √[(x – c) ² + (y – 0) ² ] = 2a

⇒ √[(x + c) ² + y ² ] = 2a + √[(x – c) ² + y ² ] 

Ahora, elevando al cuadrado en ambos lados, obtenemos

⇒ (x + c) ² + y ² = 4a ² + (x – c) ² + y ² + 4a√[(x – c) ² + y ² ] 

⇒ 4cx – 4a ² = 4a√[(x – c) ² + y ² ] 

⇒ cx – a ² = a√[(x – c) ² + y ² ] 

Ahora, elevando al cuadrado en ambos lados y simplificando, obtenemos

⇒ [(x ² /a ² ) – (y ² /(c ² – a ² ))] = 1

Tenemos, c ² = a ² + b ² , por lo que al sustituir esto en la ecuación anterior, obtenemos

⇒ x ² /a ² – y ² /b ² = 1

Por lo tanto, se deriva la ecuación estándar de la hipérbola.

De manera similar, podemos derivar las ecuaciones estándar de la otra hipérbola, es decir, [y ² /a ² – x ² /b ² ] = 1.

Términos usados ​​en hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica que se desarrolla cuando un plano corta un cono circular recto doble en un ángulo tal que ambas mitades del cono se unen. Una hipérbola se puede describir usando conceptos como focos, directriz, lado recto y excentricidad.

Revisemos algunos términos importantes relacionados con los diferentes parámetros de una hipérbola.

• Focos: Una hipérbola tiene dos focos cuyas coordenadas son F(c, o) y F'(-c, 0).
• Centro de una Hipérbola: El centro de una hipérbola es el punto medio de la línea que une los dos focos.
• Eje Mayor : La longitud del eje mayor de una hipérbola es de 2a unidades.
• Eje menor: La longitud del eje menor de una hipérbola es de 2b unidades.
• Vértices: Los puntos de intersección de la hipérbola con el eje se denominan vértices. (a, 0) y (-a, 0) son los vértices de una hipérbola.
• Latus Rectum de Hipérbola : El latus rectum de una hipérbola es una línea que pasa por cualquiera de los focos de una hipérbola y es perpendicular al eje transversal de la hipérbola. Los extremos de un latus rectum se encuentran en la hipérbola, y su longitud es 2b ² /a.

• Eje transversal: El eje transversal de la hipérbola es la línea que pasa por los dos focos y el centro de la hipérbola.
• Eje Conjugado: El eje conjugado de la hipérbola es la línea que pasa por el centro de la hipérbola y es perpendicular al eje transversal.
• Asíntotas: una hipérbola tiene un par de asíntotas, donde una asíntota es una línea recta que se acerca a la hipérbola en el gráfico, pero nunca se toca.

Ecuaciones de asíntotas de par de asíntotas de una hipérbola: y = (b/a) x y y = -(b/a) x 

• Directriz: La directriz de una hipérbola es una línea recta fija perpendicular al eje de una hipérbola.
• Excentricidad de la hipérbola:  La excentricidad de una hipérbola es la relación entre la distancia de un punto al foco y su distancia perpendicular a la directriz. La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1, es decir, e >1. 

Excentricidad de una hipérbola (e) = √[1 + (b ² /a ² )]

La hipérbola es una curva abierta que tiene dos ramas que parecen imágenes especulares entre sí. Para cualquier punto de cualquiera de las ramas, la diferencia absoluta entre el punto y los focos es constante y es igual a 2a, donde a es la distancia de la rama al centro. La fórmula de la hipérbola nos ayuda a encontrar varios parámetros y partes relacionadas de la hipérbola, como la ecuación de la hipérbola, el eje mayor y menor, la excentricidad, las asíntotas, el vértice, los focos y el recto semilato.

Problemas de muestra

Problema 1: Determinar la excentricidad de la hipérbola x ^2/64 – y ^2/36 = 1.

Solución:

Dado,

La ecuación de la hipérbola es x ² /64 – y ² /36 = 0

Al comparar la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola x ² /a ² – y ² /b ² = 1, obtenemos

un ² = 64, ^{segundo 2} = 36

⇒ a = 8, b = 6

Tenemos,

Excentricidad de una hipérbola (e) = √(1 + b ² /a ² )

⇒ e = √(1 + 6 ² /8 ² )

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ mi = 10/8 = 1,25

Por lo tanto, la excentricidad de la hipérbola dada es 1,25.

Problema 2: Si la ecuación de la hipérbola es [(x-4) ^2/25 ]-[(y-3) ^2/9 ] = 1, encuentra las longitudes del eje mayor, eje menor y latus rectum. 

Solución:

Dado,

La ecuación de la hipérbola es [(x-4) ^2/25 ]-[(y-3) ^2/9 ] = 1

Al comparar la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola, (x – h) ² /a ² – (y – k) ² /b ² = 1

Aquí, x = 4 es el eje mayor y y = 3 es el eje menor.

un ² = 25 ⇒ un = 5

segundo ² = 9 ⇒ segundo = 3

La longitud del eje mayor = 2a = 2 × (5) = 10 unidades

La longitud del eje menor = 2b = 2 × (3) = 6 unidades

La longitud del latus rectum = 2b ² /a = 2(3) ² /5 = 18/5 = 3,6 unidades

Problema 3: encuentra el vértice, la asíntota, el eje mayor, el eje menor y la directriz si la ecuación de hipérbola es [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Solución:

Dado,

La ecuación de la hipérbola es [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1

Al comparar la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola, (x – h) ² /a ² – (y – k) ² /b ² = 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

El vértice de una hipérbola: (h + a, k) y (h – a, k) = (13, 2) y (-1, 2)

El eje mayor de la hipérbola es x = h ⇒ x = 6

El eje menor de la hipérbola es y = k ⇒ y = 2

Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola son 

y = k − (b / a)x + (b / a)h y y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 y y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 y y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x y y = -1,43 + 0,57x

La ecuación de la directriz de una hipérbola es x = ± a ² /√(a ² + b ² )

⇒ x = ± 7 ² /√(7 ² + 4 ² ) = ± 49/√65 

⇒ x = ± 6,077

Problema 4: Hallar la excentricidad de la hipérbola cuyo latus rectum es la mitad de su eje conjugado.

Solución:

Dado, 

La longitud del latus rectum es la mitad de su eje conjugado.

Sea la ecuación de la hipérbola [(x ² / a ² ) – (y ² / b ² )] = 1

Entonces eje conjugado = 2b

La longitud del latus rectum = (2b ² / a)

De los datos dados, (2b ² / a) = (1/2) × 2b

⇒ 2b = un

Tenemos,

Excentricidad de una hipérbola (e) = √[1 + (b ² /a ² )]

Ahora, sustituya a = 2b en la fórmula de excentricidad

⇒ e = √[1 + (b ² /(2b) ² ]

⇒ e = √[1 + (b ² /4b ² )] = √(5/4) 

⇒ e = √5/2

Por lo tanto, la excentricidad requerida es √5/2.

Problema 5: Encuentra el vértice, los focos y las ecuaciones de las asíntotas si la ecuación de la hipérbola es [y ^2/25 ]-[x ^2/9 ] = 1.

Solución:

Dado,

La ecuación de la hipérbola es [y ² /25]-[x ² /9] = 1 = 0

Al comparar la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola y ² /a ² – x ² /b ² = 1, obtenemos

a ² = 25, b ² = 9 ⇒ a = 5, b = 3

Coordenadas del vértice: (0, 5) y (0, -5)

Coordenadas de focos: (0, c) y (0, -c)

Sabemos que, c = √(a ² + b ² ) = √(5 ² + 3 ² ) = √34 = 5.83

Por lo tanto, coordenadas de focos: (0, 5.83) y (0, -5.83)

Ecuaciones de asíntotas: y = (a/b) x y y = -(a/b) x

⇒ y = (5/3)x y y = -(5/3)x

Así, las ecuaciones de las asíntotas son: 5x – 3y = y 5x + 3y = 0