Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Hay dos tipos de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden: ecuaciones homogéneas y ecuaciones no homogéneas.

Ecuaciones Homogéneas:

1. Forma general de ecuación:
   Estas ecuaciones son de la forma:

   A(x)y" + B(x)y' + C(x)y = 0

   donde y’=(dy/dx) y A(x), B(x) y C(x) son funciones de la variable independiente ‘x’.

   A los efectos de este artículo, aprenderemos cómo resolver la ecuación donde las tres funciones anteriores son constantes.

2. Propiedades:

   (I) Suponga que g(x) es una solución de la ecuación homogénea. Probaremos que ‘cg(x)’ también es una solución, donde c es una constante.

   Ag"+Bg'+Cg = 0            (1)
   Now, A(cg)" + B(cg)' + Cg 
   = cAg" + cBg' + Cg
   = c(Ag" + Bg' + Cg)
   = c(0)    [From (1)]
   = 0

   Por lo tanto, ‘cg(x)’ también es una solución.

   (II) Suponga que h(x) es también una solución junto con g(x). Probaremos que ‘h(x)+g(x)’ también es una solución.

   Ag"+Bg'+Cg = 0            (1)
   Ah"+Bh'+Ch = 0            (2)
   Now, A(h+g)" + B(h+g)' + C(h+g)
   = A(h"+g") + B(h'+g') + C(h+g)
   = (Ah" + Bh' + Ch) + (Ag" + Bg' + Cg)
   = 0 + 0               [From (1) and (2)]
   = 0

   (III) De I y II podemos decir que la solución general de una ecuación homogénea es:

   'kg(x) + ch(x)'

   donde ‘k’ y ‘c’ son constantes arbitrarias.

3. Resolviendo Ecuaciones Homogéneas:
   El paso básico es, por supuesto, ‘adivinar’ la función que satisface la ecuación. Pero en este caso lo he hecho por ti. El primer paso consiste en asumir, receta

   donde ‘r’ es un número real (¡también puede ser complejo como veremos!).
   Asi que,

    Ar2erx + Berxr + Cerx = 0
   (erx)(Ar2 + Br  + C) = 0    [Taking erx common from all the terms]
   Ar2 + Br + C = 0    [As erx cannot be zero]

   Con base en la ecuación anterior surgen 3 casos:

   (I) Si ambas raíces son reales, digamos r ₁ y r ₂ , entonces la solución será

   f(x) = c1(er1x) + c2(er2x)

   (II) Si las raíces son complejas entonces deben ser conjugadas ya que los coeficientes de la ecuación cuadrática son reales.

   Let r1 = a1 + ia2, r2 = a1 - ia2 

   donde ‘i’ es iota, es decir, ‘i’ es la raíz cuadrada de (-1).
   Entonces, la solución general será:

   f(x) = c1er1x + c2er2x 

   que si simplificas se verá así:

   f(x) = ea1x(k1cos(a2x) + k2sin(a2x)) 

   [Espero que sepas que e ^it = cos(t) + isin(t), También k ₁ y k ₂ son diferentes de c ₁ y c ₂ ].
   También te animo a encontrar la relación entre k ₁ y k ₂ y c ₁ y c ₂ .

   (III) Si las raíces se repiten, entonces y = ce ^rx no es la solución general sino sólo una solución particular. ¿Entonces lo que hay que hacer? Por lo tanto suponga de nuevo,

   y = p(x)erx 

   donde ‘r’ es la raíz que obtuviste en la ecuación anterior. Al resolver obtendrás que

   p(x)=c1x + c2 

   Por lo tanto, su solución general se verá así,

   y = (c1x + c2)erx 

Estos ejemplos te darán claridad:

Ejemplo 1:

y" + 5y' + 6y = 0

Supongamos y = e ^rx . Poniendo esto en la ecuación, finalmente obtenemos:

r2 + 5r + 6 = 0
(r+2)(r+3) = 0
r = (-2)  OR  r = (-3)

Asi que,

r1 = (-2) and r2 = (-3) 

Como ambos son reales la solución general será:

y = c1e(-2x) + c2e(-3x)

Ejemplo-2:

y" + y' + y = 0

Nuevamente asuma y = r ^rx y resuelva para ‘r’. Tu ‘r’ se verá así:

r1 = (-1/2) + i(-sqrt(3)/2)   
and  r2 = (-1/2) - i(-sqrt(3)/2)
So, 
a1 = (-1/2)  
and  a2 = (sqrt(3)/2)

Por lo tanto, la solución general se verá así:

y = e(-x/2)(c1cos(x(3)/2) + c2sin(x(3)/2))

Ejemplo-3:

y" + 4y' + 4y = 0

Nuevamente asuma y = r ^rx y resuelva para ‘r’. La ‘solución particular será:

y = ce2x

Suponga que y = p(x)e ^2x . Ponerlo en la ecuación diferencial le dará:

p" = 0 which implies
p'= c2 which again implies
p = c1x + c2

Por lo tanto la solución general será:

y = (c1x + c2)e2x