Eje de simetría de una parábola

El significado del diccionario de simetría es “tal proporción y equilibrio que es a la vez armonioso y atractivo”. Sin embargo, tiene una definición más exacta en matemáticas y generalmente se refiere a un objeto que es estable bajo ciertas transformaciones, como rotación, reflejo o traslación. Las formas o figuras simétricas son cosas que pueden tener una línea trazada a través de ellas para que las representaciones en ambos lados de la línea se reflejen entre sí. Mire el triángulo a continuación, que cuando se divide por un segmento de línea, se divide en dos formas idénticas, que son como reflejos de espejo entre sí.

Eje de simetria

Una línea que divide un elemento en dos mitades iguales, proporcionando una réplica similar a un espejo de cualquier lado del objeto, se conoce como eje de simetría. La palabra simetría connota una sensación de equilibrio. La simetría se puede utilizar en una variedad de circunstancias y escenarios. La simetría es una idea fundamental en geometría que divide una forma en dos mitades, cada una de las cuales es un reflejo perfecto de la otra, como se ve en el diagrama a continuación. Las diferentes formas tienen varias líneas de simetría. Un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, un rectángulo tiene dos ejes de simetría, un círculo tiene infinitos ejes de simetría y un paralelogramo no tiene ninguno. Un polígono regular de n lados tiene n ejes de simetría. 

Los ejes de simetría de un pentágono se muestran a continuación:

Eje de simetría de una parábola

Una parábola tiene un solo eje de simetría. La línea recta que divide una parábola en dos partes simétricas es el eje de simetría. Hay cuatro tipos diferentes de parábolas. Puede ser horizontal o vertical, y puede mirar hacia la izquierda o hacia la derecha. La forma de la parábola está determinada por su eje de simetría. La parábola es vertical cuando su eje de simetría es vertical y viceversa.

Fórmula del eje de simetría de una parábola

Para una parábola con una ecuación de la forma ax ² + bx + c, el eje de simetría se puede calcular usando la siguiente fórmula:

x = −b/2a

donde a y b son los coeficientes de x ² y x respectivamente y c es la constante.

Derivación de la fórmula

El vértice de la parábola es el único punto por donde pasa el eje de simetría. La ecuación cuadrática de una parábola vertical es y = ax ² + bx + c

La parábola no se ve afectada por el término constante ‘c.’

Considere la ecuación y = ax ² + bx.

El eje de simetría es el punto medio de sus dos intersecciones con el eje x. Para encontrar el intercepto en x, sustituye y = 0.

⇒ x(ax + b) = 0

⇒ x = 0 o, x = -b/a

Usando la fórmula del punto medio, tenemos:

⇒ x = 

⇒ x = -b/2a

Por lo tanto probado.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Encuentra el eje de simetría de la parábola y = x ² − 4x + 8.

Solución:

Dado: y = x ² − 4x + 8

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 1, b = −4, c = 8

Eje de simetría = −b/2a

= −(−4)/2(1)

⇒ x = 2

Pregunta 2. Encuentra el eje de simetría de la parábola y = 4x ² .

Solución:

Dado: y = 4x ²

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 4, b = 0, c = 0

Eje de simetría = −b/2a

= 0/2(4)

⇒ x = 0

Pregunta 3. Encuentra el eje de simetría de la parábola y = 7x ² .

Solución:

Dado: y = 7x ²

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 7, b = 0, c = 0

Eje de simetría = −b/2a

= 0/2(7)

⇒ x = 0

Pregunta 4. Encuentra el eje de simetría de una parábola y = x ² + 8x − 3.

Solución:

Dado: y = x ² + 8x − 3

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 1, b = 8, c = –3

Eje de simetría = −b/2a

= –8/2(1)

⇒ x = –4

Pregunta 5. Encuentra el eje de simetría de la parábola y = 2x ² + 12x.

Solución:

Dado: y = 2x ² + 12x

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 2, b = 12, c = 0

Eje de simetría = −b/2a

= −12/2(2)

⇒ x = −3

Pregunta 6. Encuentra el eje de simetría de la parábola y = 3x ² − 6x + 5.

Solución:

Dado: y = x ² − 6x + 5

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 1, b = −6, c = 5

Eje de simetría = −b/2a

= −(−6)/2(3)

⇒ x = 1

Pregunta 7. Encuentra el eje de simetría de la parábola y = 9x ² .

Solución:

Dado: y = 9x ²

Compara la ecuación dada con la forma estándar ax ² + bx + c.

⇒ a = 9, b = 0, c = 0

Eje de simetría = −b/2a

= 0/2(9)

⇒ x = 0