El módulo de Young

El módulo de Young lleva el nombre de Thomas Young , un físico británico. La relación entre el estrés (fuerza por unidad de área) y la deformación (deformación proporcional en un objeto) está definida por el módulo de Young. Cuando se le agrega cierta carga a un material rígido, se deforma. Cuando se retira el peso de un material elástico, el cuerpo vuelve a su forma original. Más allá de un grado mínimo de deformación, a menudo los materiales no son lineales ni elásticos. Solo las superficies elásticas lineales tienen un módulo de Young constante.

Al igual que el módulo de volumen, la relación de Poisson y el módulo de corte, el módulo de Young también es una constante elástica. Por lo tanto, antes de comprender el concepto de módulo de Young, primero aprendamos sobre las constantes elásticas.

Constantes elásticas

Las constantes elásticas son aquellas constantes que determinan la deformación producida por un determinado sistema de tensiones que actúa sobre el material. Hay muchos tipos de constantes elásticas, como el módulo de volumen, el módulo de Young o el módulo de elasticidad, la relación de Poisson y el módulo de corte o módulo de rigidez. Cuando una fuerza deformante actúa sobre un objeto, provoca que la dimensión original del sólido se desplace. En tales situaciones, la relación entre las constantes elásticas se puede utilizar para determinar el grado de deformación .

Las siguientes son las principales constantes elásticas que deben aprenderse:

1. Módulo de volumen: Viene dado por la relación entre la presión (P) aplicada y la correspondiente disminución relativa del volumen o deformación volumétrica (∈ _V ) del material. Matemáticamente se define como:

K = PAG / ∈ _V = PAG / -(∆V/V ₀ )

donde ∆V es el cambio de volumen del material debido a la compresión y V ₀ es el volumen inicial del material.

El valor se denota con un símbolo de K, y tiene la dimensión de fuerza por unidad de área. 

Se expresa en unidades por pulgada cuadrada (psi) en el sistema inglés y Newtons por metro cuadrado (N/m ² ) en el sistema métrico.

2. Módulo de Young: Esta es una medida de la rigidez o resistencia de un sólido a la deformación elástica bajo carga. Relaciona el estrés (fuerza por unidad de área) con la deformación (deformación proporcional) a lo largo de un eje o línea. Matemáticamente se define como:

Y = (F/A) / -(∆L/L ₀ )

donde ∆L es el cambio de longitud del material debido a la compresión y L ₀ es la longitud inicial del material.

El valor se denota con un símbolo de Y, y tiene la dimensión de fuerza por unidad de área. 

La unidad SI para el módulo de Young es Pascal (Pa), los valores se expresan con mayor frecuencia en términos de megapascal (MPa) o Newtons por milímetro cuadrado (N/mm ² ).

3. Módulo de corte o módulo de rigidez: La relación entre el esfuerzo cortante (o) el esfuerzo tangencial y la deformación cortante (o) el esfuerzo tangencial se denomina módulo de rigidez. Matemáticamente se define como:

η = (F/A) / ∅ 

donde F es la fuerza aplicada sobre una unidad de superficie del cuerpo A y ∅ es la tensión de corte.

El valor se denota con un símbolo de η. 

Se expresa en Pascales (Pa) en el sistema SI.

Ahora, analicemos el tema del módulo de elasticidad de Young con más detalle como:

Módulo de elasticidad de Young

El módulo de Young es una constante matemática. Lleva el nombre de Thomas Young , un médico y científico inglés del siglo XVIII. Define las características elásticas de un sólido que se somete a tensión o compresión en una sola dirección. Como ejemplo, considere una barra de metal que vuelve a su longitud original después de haber sido estirada o comprimida longitudinalmente.

Es una medida de la capacidad de un material para soportar cambios de longitud cuando se somete a tensión o compresión longitudinal. También se conoce como módulo de elasticidad. Lo calculamos dividiendo Se calcula como el esfuerzo longitudinal dividido por la deformación. En el caso de una barra de metal tensionada, se pueden indicar tanto el esfuerzo como la deformación.

El módulo de Young, también conocido como módulo elástico o módulo de tracción , es una medida de propiedades mecánicas de sólidos lineales elásticos como varillas, alambres, etc. Existen otros números que nos dan una medida de las características elásticas de un material. El módulo de volumen y el módulo de corte son dos ejemplos. Sin embargo, el valor del módulo de Young se utiliza con mayor frecuencia. Esto se debe a que proporciona información sobre la elasticidad a la tracción de un material. 

Cuando un material se comprime o estira, experimenta una deformación elástica y vuelve a su forma original cuando se libera la carga. Cuando un material flexible se deforma, se deforma más que cuando se deforma una sustancia rígida. En otras palabras, se puede interpretar como: 

• Un sólido con un valor de módulo de Young bajo es elástico.
• Un sólido con un módulo de Young alto es inelástico o rígido.

El módulo de Young se describe como la capacidad mecánica de un material para tolerar la compresión o el alargamiento con respecto a su longitud inicial.

Fórmula para el módulo de Young:

Matemáticamente, el módulo de Young se define como la relación entre la tensión aplicada al material y la deformación correspondiente a la tensión aplicada en el material, como se muestra a continuación:

Módulo de Young = Esfuerzo / Deformación

o 

Y = σ / ϵ 

donde Y es el módulo de Young del material, σ es la tensión aplicada al material y ϵ es la deformación correspondiente a la tensión aplicada en el material.

Unidades del Módulo de Young:

La unidad SI para el módulo de Young es Pascal (Pa) . 

La fórmula dimensional para Y es [ML ^-1 T ^-2 ] .

Los valores suelen expresarse en megapascales (MPa), newtons por milímetro cuadrado (N/mm ² ), gigapascales (GPa) o kilonewtons por milímetro cuadrado (kN/mm ² ). 

Los módulos de Young de algunos materiales son los siguientes:

	Materiales	Módulo de Young (Y) en Nm -2
1.	Goma	5 × 10 8
2.	Hueso	1,4 × 10 10
3.	Guiar	1,6 × 10 10
4.	Aluminio	7,0 × 10 10
5.	Latón	9,0 × 10 10
6.	Cobre	11,0 × 10 10
7.	Hierro	19,0 × 10 10

Interpretación Matemática del Módulo de Young:

Considere un alambre de radio r y longitud L. Aplique una fuerza F sobre el alambre a lo largo de su longitud, es decir, normal a la superficie del alambre como se muestra en la figura. Si △L es el cambio en la longitud del cable, entonces Tensión de tracción (σ = F/A), donde A es el área de la sección transversal del cable y la deformación longitudinal (ϵ = △L/L).

Por lo tanto, el módulo de Young para este caso viene dado por:

Y = (F/A) / (△L/L) 

   = (F × L) / (A × △ L)            

Si la extensión se produce por la carga de masa m, entonces la Fuerza, F es mg , donde m es la masa yg es la aceleración gravitatoria. 

Y el área de la sección transversal del cable, A es πr ² donde r es el radio del cable. 

Por lo tanto, la expresión anterior se puede escribir como:

Y = (m × g × L) / (πr ² × △L)

Por tanto, los factores de los que depende el módulo de Young de un material son :

• Cuanto mayor sea el valor del módulo de Young del material, mayor será el valor de la fuerza requerida para cambiar la longitud del material . 
• El módulo de Young de un objeto depende de la naturaleza del material del objeto . 
• El módulo de Young de un objeto no depende de las dimensiones (es decir, largo, ancho, área, etc.) del objeto. 
• El módulo de Young de una sustancia disminuye al aumentar la temperatura .
• El módulo de elasticidad de Young de un cuerpo perfectamente rígido es infinito.

Por lo tanto, a partir de la expresión anterior, la pendiente dibujada para el cambio de longitud (△L) y la masa del objeto (m) se muestra a continuación como:

Problemas de muestra

Problema 1: Un cable se corta a la mitad de su longitud. ¿Por qué este cambio no tiene efecto en el soporte de cabina de cable de carga máxima?

Solución:

La carga máxima que puede soportar un cable está dada por:

F = (YA△L) / L

Aquí Y y A son constantes, no hay cambio en el valor de △L/L.

Por lo tanto, ningún efecto sobre la carga máxima.

Problema 2: ¿Cuál es el módulo de Young para un cuerpo perfectamente rígido?

Solución:

El módulo de Young para un material es,

Y=(F/A) / (△L/L) 

 Aquí, △L = 0 para cuerpo rígido. Por lo tanto, el Módulo de Young es infinito .

Problema 3: El módulo de Young de un acero es mucho mayor que el de una goma. Si la deformación longitudinal es la misma, ¿cuál tendrá mayor esfuerzo de tracción?

Solución:

Dado que la tensión de tracción del material es igual al producto del módulo de Young (Y) y la deformación longitudinal. Como el acero tiene un módulo de Young más grande, por lo tanto, tiene más tensión de tracción.

Problema 4: Una fuerza de 500 N provoca un aumento del 0,5% en la longitud de un alambre de área de sección transversal 10 ^-6 m ² . Calcular el módulo de Young del alambre.

Solución:

Dado que, 

La fuerza que actúa, F = 1000 N, 

El área de la sección transversal del cable, A = 10 ^-6 m ²

Por lo tanto,    

△L/L = 0,5 = 5/1000 = 0,005

 Y = (F/A)/(△L/L)

    = 10 ¹² Nm ^-2

Problema 5: ¿Cuál es el módulo de volumen de un cuerpo rígido perfecto?

Solución:

Dado que, el módulo de volumen de un material se define como,

K= P / (△V/V)

Ya que, △V = 0 para cuerpo rígido perfecto.

Por lo tanto, el módulo de volumen es infinito para un cuerpo rígido perfecto.