Electrónica Digital – Complementos Radix y Radix Disminuido

Requisito previo: complemento de un número

El uso de complementos es principalmente para realizar restas. Podemos realizar sumas fácilmente en contraste si nos gustaría implementar la resta usando puertas lógicas que requerimos más (porque debemos considerar tomar prestado ese tipo de cosas). Entonces, si de alguna manera lo convertimos en expresiones simples, es decir, estamos usando circuitos menos costosos para implementar las operaciones.

Existen básicamente 2 tipos de complementos para cada sistema base-r:

1. Complemento Radix Disminuido (Complemento de (r-1)):

 Si nos dan un número N en base-r que tiene n dígitos, el complemento de (r-1) o el complemento Radix disminuido se define como:

(r^n - 1) - N

Ejemplo 1:

Tomemos r = 10, es decir, necesitamos encontrar el complemento a 9 de un número. Sea N el número, entonces el complemento a 9 de N es 

10^n -1 -N i.e. 999....99 (n digits) - N

Ejemplo 2:

Tomemos N = 1988. Aquí, r = 10 y n = 4, por lo que el complemento de 9 de 1988 es 

9999 - 1998 = 8001 

Ejemplo 3:

Tomemos N = 01234. Aquí, r = 10 y n = 5, por lo que el complemento a 9 de 01234 es 

99999 - 01234 = 98765

• Para números binarios, r = 2
• Entonces 2^n se representa como 100…00 (1 seguido de n 0)
• Esto implica que 2^n -1 se representa como 1…11(n 1)
• En el caso del complemento a 1 binario, vemos que tiene todos los 1, es decir, 1-1=0 y 1-0=1
• Esto significa que si simplemente cambiamos 1 de 0 y 0 de 1, obtenemos directamente su complemento.

Ejemplo 4:

Tomemos N = 010010 y r = 2 y n = 6. Así que directamente el complemento a 1 de N es 

111111-010010 = 101101

2. Complemento Radix (Complemento r):

Si nos dan un número N en base-r que tiene n dígitos, el Complemento de (r) o Complemento Radix se define como:

rn - N

Esto también es lo mismo que sumar 1 al complemento de (r-1) para obtener el complemento de r.

Ejemplo 1:

Sea N = 12345 y n = 5 y r = 10. Entonces, el complemento a 10 de N es 

100000 - 12345 = 98765

Sea N = 010101, n = 6 y r = 2 

Entonces, el complemento de 2 es el complemento de 1 +1, es decir, cambie 1 a 0 y 0 a 1 y luego agregue 1 al número. Entonces el complemento a 2 de 010101 es 

101010+1 = 101011

También podemos hacer lo anterior, ya que el complemento a 2 se puede formar dejando todos los 0 menos significativos y el primer 1 sin cambios y reemplazando los 1 con 0 y los 0 con 1 en todos los demás dígitos significativos más altos.      

Ejemplo 2: El complemento a 2 de 0110111 es 1001001
 
Realización de una resta usando el complemento de r y r-1: cuando la resta se implementa con hardware digital, el método de préstamo es menos eficiente que el método que usa complementos. (Se requiere más número de circuitos). Una de las cosas a tener en cuenta antes de hacer una resta es asegurarse de que ambos tengan la misma cantidad de dígitos.
La resta de dos números sin signo de n dígitos M – N en base-r se puede hacer de la siguiente manera:

Ejemplo 1:

• Usando el complemento a 10 encuentra 98765 – 4321
• Entonces, lo anterior también significa que encuentre el valor de 98765 – 04321
• Calculemos que el complemento a 10 de 04321 es

100000 - 04321 = 95679

Sume el complemento a 10 de N a M 98765 + 95679 = 194444 y obtuvimos un acarreo de 1, lo que significa que MN es positivo. Entonces, simplemente elimine el acarreo si hay alguno, el resultado será la respuesta, por lo que la identificación de la respuesta es 94444.

Ejemplo 2:

• Usando el complemento a 10 encuentra 4321-98765 necesitamos calcular 04321-98765
• Así que primero calcula el complemento a 10 de 98765
• El complemento a 10 de 98765 es

100000 - 98765 = 01235
So, 01235 + 04321 = 05556 

Como no hay acarreo (es decir, el dígito más significativo es 1), el número es negativo, ahora debemos tomar nuevamente el complemento de 10 y con un signo menos delante de 05556, es decir

-(100000 - 05556) = -94444