Elementos de POSET

Prerrequisito: Introducción y Tipos de Relaciones

POSET , conocido como conjunto parcialmente ordenado , funciona según el principio de relación de orden parcial . Se dice que una relación R es una relación ordenada parcial cuando puede satisfacer las siguientes propiedades:

1. Ris Reflexiva , es decir, si se establece A ={1,2,3} entonces R ={(1,1), (2,2), (3,3)} es una relación Reflexiva.
2. R es antisimétrico , es decir, si R contiene (1,2), entonces (2,1) no está permitido.
3. R es Transitiva , es decir, si R contiene (1,2), (2,3), entonces debería contener (1,3) para que sea Transitiva.

POSET: Si un conjunto ‘A’ sigue una relación de ordenamiento parcial ‘R’ entonces se conoce como POSET. Se denota por [A; R].

Nota: a diferencia de la asimetría, la antisimetría permite elementos reflexivos como (a,a) o (b,b) en una relación.

Ejemplo 1: Para un conjunto A = {1,2,3}, verifique si las siguientes relaciones son POSET ?

R1 = {(1,1), (2,2), (3,3) _}

R2 ₌ {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}

R ₃ = { }

Explicación: Para probar una relación de orden parcial , verifique la reflexividad, la antisimetría y la transitividad.

(1,1)	(1,2)	(1,3)
(2,1)	(2,2)	(2,3)
(3,1)	(3,2)	(3,3)

R ₁ ⇒ Reflexivo: Dado que (1,1) (2,2) (3,3) están presentes, entonces es Reflexivo.

         Antisimetría: Permite pares reflexivos, por lo que es Antisimétrica.

         Transitivo: los pares reflexivos siempre son transitivos.

R ₂ ⇒  Reflexivo: Dado que (1,1) (2,2) (3,3) están presentes, entonces es Reflexivo.

         Antisimetría: para (1,2) hay (2,1), por lo que no es antisimétrico.

         Transitiva: No existen tales pares (a,b) (b,c) tales que (a,c) no está presente.

R ₃ ⇒ Reflexivo: conjuntos NULL no contienen ninguno de (1,1) (2,2) (3,3).

Por lo tanto, R ₁ es un POSET, pero R ₂ y R ₃ no lo son.

Elementos de POSET

 

Elemento Máximo: Si en un POSET/Lattice, un elemento no está relacionado con ningún otro elemento. O, en palabras simples, es un elemento sin borde saliente (hacia arriba) . En el diagrama anterior, A, B, F son elementos máximos.

Elemento mínimo: si en un POSET/Lattice, ningún elemento está relacionado con un elemento. O, en palabras simples, es un elemento sin borde entrante (hacia abajo) . En el diagrama anterior, C, D, E son elementos mínimos.

Elemento Máximo (Mayor): Si en un POSET/Lattice, es un elemento Maximal , y cada elemento está relacionado con él, es decir, cada elemento de la red debe estar conectado a este elemento. En el diagrama anterior, E y F son elementos máximos, pero E es el único elemento máximo.

Elemento Mínimo (Least): Si en un POSET/Lattice, es un elemento Minimal y está relacionado con todos los demás elementos, es decir, debe estar conectado a cada elemento de la red. En el diagrama anterior, A y B son elementos mínimos, pero A es el único elemento mínimo.

Nota:

• Cada elemento Máximo es un elemento Máximo pero cada elemento Máximo no es un elemento Máximo
• Cada elemento Mínimo es un elemento Mínimo pero cada elemento Mínimo no es un elemento Mínimo.

Límite superior

Supongamos que B  es un subconjunto del conjunto A. Un elemento x ∈ A está en la cota superior de B si (y,x) ∈ POSET donde   V y ∈ B. O podemos decir que es un elemento al que todo elemento de un subconjunto está relacionado.

1. B = {E,C}:      Límite superior- {G, E} (E puede ser en sí mismo un límite superior porque el orden parcial sigue la propiedad reflexiva )
2. B = {C,F,D}:   Límite superior- {G, H, F}

Límite inferior

Si B  es un subconjunto del conjunto A, un elemento x ∈ A está en la cota inferior de B si (x,y) ∈ POSET donde   V y ∈ B. O podemos decir que es un elemento relacionado/conectado a cada elemento del subconjunto B.

1. B = {E,C} :     Límite inferior- {A,B,C} (C puede ser en sí mismo un límite inferior porque el orden parcial sigue la propiedad reflexiva)
2. B = {C,F,D} :  Límite inferior- { ∅ }

Límite superior mínimo

También conocido como Unión . El elemento Mínimo (Mínimo) en Upper Bound.

1. B = {C,D} :    límite superior mínimo- { E }
2. B = {A,B} :    límite superior mínimo- { D }
3. B = {E,F} :     límite superior mínimo- { ∅ }

Límite inferior máximo

También conocido como Encuentro . El elemento máximo (más grande) en el límite inferior.

1. B = {C,D} :    límite superior mínimo- { A }
2. B = {A,B} :    límite superior mínimo- { ∅ }
3. B = {E,F} :    límite superior mínimo- { D }