¿En qué proporción el segmento de línea que une los puntos (2, 3) y (3, 7) está dividido por el eje Y?

Las matemáticas son una materia que está asociada con los números y los cálculos. Y, según el tipo de cálculo, las matemáticas se dividen en diferentes ramas como el álgebra, la geometría, la aritmética, etc. La geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de la forma y sus propiedades. La geometría que se ocupa de un punto, líneas y planos en los que intervienen coordenadas se denomina geometría de coordenadas.

Coordenadas

La ubicación de cualquier punto en un plano se puede expresar como (x, y) y estos pares se conocen como las coordenadas, x es el valor horizontal de un punto en el plano. Este valor también se puede llamar coordenada x o abscisa, y es el valor vertical de un punto en el plano. Este valor se puede llamar la coordenada y o la ordenada. En geometría de coordenadas, el punto se representa en el plano cartesiano.

Dividido por el eje y significa el punto que se encuentra en el eje y.

El punto que se encuentra en el eje y siempre tendrá su coordenada x igual a cero.

Fórmula de sección

Si una línea AB tiene coordenadas (x ₁ , y ₁ ) y (x ₂ , y ₂ ) de los puntos A y B respectivamente y hay un punto C en la línea AB que divide la línea en razón m:n, entonces la coordenada de C se puede obtener de la siguiente fórmula, que se conoce como fórmula de sección:

1. x = (mx ₂ + nx ₁ ) /( m + n)
2. y = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

¿En qué proporción el segmento de línea que une los puntos (2, 3) y (3, 7) está dividido por el eje Y?

Solución:

En el enunciado del problema anterior, hay un segmento de línea AB que tiene las coordenadas (2,3) y (3,7) de A y B respectivamente. Consideremos un punto C que tiene una coordenada (x, y) que se encuentra en el eje y, entonces la coordenada x del punto C es 0, las coordenadas de C se pueden escribir como (0, y).

Encuentra la razón en la que este punto C dividirá el segmento de línea AB. Para hallar la razón, usa la fórmula de sección de la geometría de coordenadas. Supongamos que el punto C divide a AB en una razón k:1.

Como se sabe, la coordenada x del punto C, podemos usarla para obtener el valor de k y obtener la relación. Aquí,

m = k, n = 1

x ₁ = 2, y ₁ = 3

x2 = ₃ , y2 ₌ 7

coordenada x usando la fórmula de la sección:

x = (mx ₂ + nx ₁ ) / (m + n)

Después de sustituir los valores,

x = ((k)(3) + (1)(2))/ (k+1)

0 = (3k + 2)/ (k + 1)

0 = 3k + 2

– 2 = 3k 

-2/3 = k

C divide el punto en razón k:1 = -2/3:1, por lo tanto la razón es 2:3

Un signo negativo representa que el punto C divide el segmento de línea externamente en una proporción de 2:3.

Problemas de muestra

Pregunta 1: ¿En qué proporción el segmento de línea que une los puntos A y B tiene coordenadas (0, -2) y (3, 1) respectivamente dividido por el eje X?

Solución:

Sea C el punto en el eje X que divide a AB en razón k: 1. Como C se encuentra en el eje x, la coordenada y de C debe ser 0. Por lo tanto, la coordenada de C: (x, 0) . Como se conoce como la coordenada y del punto C, podemos usarla para obtener el valor de k y obtener la relación. Aquí, 

metro = k, norte = 1

x1 = 0, _{y1 =} -2

x2 = ₃ , y2 ₌ 1

coordenada y usando la fórmula de la sección:

y = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

Después de sustituir los valores,

y = ((k)(1) + (1)(-2))/ (k+1)

0 = (k – 2)/ (k + 1)

0 = k – 2

2 = k

2 = k

C divide el punto en razón k:1 = 2:1, por lo tanto la razón es 2:1.

Pregunta 2: ¿En qué razón un punto (2,2) divide el segmento de línea AB del cual (0, 0) y (5, 5) son las coordenadas de A y B respectivamente?

Solución:

Sea (2, 2) divida a AB en la razón k: 1. Como se conocen las coordenadas aey del punto, utilícelas para obtener el valor de k y obtener la razón. Aquí,

metro = k, norte = 1

x1 = 0, _y1 = ₀

x2 = 5, _y2 = ₅

coordenada y usando la fórmula de la sección:

y = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

Después de sustituir los valores,

2 = ((k)(5) + (1)(0)) / (k + 1)

2 = ( 5k ) / (k+1)

2(k + 1) = 5k

2k + 2 = 5k

2 = 3k

2/3 = k

Por lo tanto, (0, 0 ) divide el punto en razón k:1 = 2/3:1, por lo que la razón es 2:3.