¿En qué se diferencian los operadores de comparación PHP de igualdad (== doble igual) e identidad (=== triple igual)?

Operador Igual ==

El operador de comparación llamado Operador Igual es el doble signo igual “==”. Este operador acepta dos entradas para comparar y devuelve el valor verdadero si ambos valores son iguales (compara solo el valor de la variable, no los tipos de datos) y devuelve un valor falso si ambos valores no son iguales. 
Esto siempre debe tenerse en cuenta que el operador de igualdad presente == es diferente del operador de asignación =. El operador de asignación cambia y asigna la variable de la izquierda para que tenga un nuevo valor como la variable de la derecha, mientras que el operador igual == prueba la igualdad y devuelve verdadero o falso según los resultados de la comparación.
Ejemplo: 
 

<?php
 
// Variable contains integer value
$x = 999;
 
// Variable contains string value
$y = '999';
 
// Compare $x and $y
if ($x == $y)
    echo 'Same content';
else
    echo 'Different content';
?>

Same content

Operador idéntico ===

El operador de comparación llamado operador Idéntico es el triple signo igual “===”. Este operador permite una comparación mucho más estricta entre las variables o valores dados.  
Este operador devuelve verdadero si ambas variables contienen la misma información y los mismos tipos de datos ; de lo contrario, devuelve falso.
Ejemplo: 
 

<?php
 
// Variable contains integer value
$x = 999;
 
// Variable contains string value
$y = '999';
 
// Compare $x and $y
if ($x === $y)
    echo 'Data type and value both are same';
else
    echo 'Data type or value are different';
?>

Data type or value are different

En el ejemplo anterior, el valor de $x y $y son iguales pero los tipos de datos son diferentes, por lo que se ejecutará otra parte.