Estamos familiarizados con el trazado de puntos en un gráfico en un plano. Los puntos generalmente se usan para ubicar un punto llamado coordenadas. La geometría de coordenadas es una rama de estudio que se ocupa de las coordenadas, la distancia entre coordenadas, el punto medio entre dos coordenadas, un punto que divide una línea en una proporción particular, etc. La geometría de coordenadas relaciona el álgebra y la geometría mediante el uso de ecuaciones, líneas. La posición de un punto que tiene coordenadas se representa usando un par ordenado de números donde el primer número representa el eje x del plano mientras que el otro representa el eje y.
Fórmula de sección
La fórmula de sección se usa para encontrar el punto que divide un segmento de línea en una proporción conocida y se conocen las coordenadas de los segmentos de línea. Si un segmento de recta PQ en un plano donde P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) se divide por un punto A(x, y) en razón m:n como se muestra en la figura, entonces el punto A se puede encontrar usando la fórmula de sección. También podemos encontrar el punto del segmento de línea tomando la relación como 1:1.
A (x, y) = ((mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n))
Si el punto que divide el segmento de línea externamente entonces la sección externa es
A (x, y) = ((mx 2 – nx 1 ) / (m – n), (my 2 – ny 1 ) / (m – n))
¿Encuentra la razón en que la línea que une los puntos (- 3, 10) y (6, -8) se divide por el punto (- 1, 6)?
Solución:
Dado,
Puntos del segmento de línea: (-3,10) (6,-8)
Punto que divide el segmento de línea: (-1,6)
Como el punto está dividiendo el segmento de línea internamente, usamos la fórmula de la sección:
A (x, y ) = ((mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n))
Sustituyendo valores como x = -1, y = 6, x 1 = -3, x 2 = 6 obtenemos
=> -1 = (6m + (-3n))/(m + n)
=> -1(m + n) = 6m – 3n
=> -m – n = 6m -3n
=> -m – 6m = n – 3n
=> -7m = -2n
=> m / n = 2/7
=> m : n = 2 : 7
Por tanto, la razón en que el punto (-1, 6) divide el segmento de recta que une (-3, 10), (6, -8) es 2:7
Fórmula de punto medio
El punto medio se define como el punto que divide un segmento de línea exactamente en la mitad que está en la misma proporción. Podemos derivar la fórmula del punto medio de la fórmula de la sección. Si el punto A(x, y) divide el segmento de recta que une P(x 1 , y 1 ) y Q (x 2 , y 2 ) en razón 1:1, entonces se dice que A es el punto medio de la recta PQ.
Usando la fórmula de la sección:
A (x, y) = ((mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n))
ya que, m : n = 1 : 1
A (x, y) = (((1)x 2 + (1)x 1 ) / (1 + 1), ((1)y 2 + (1)y 1 ) / (1 + 1))
A (x, y) = ((x 2 + x 1 ) / 2, (y 2 + y 1 ) / 2)
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: ¿Qué se entiende por Punto de Trisección?
Solución:
El punto de trisección son dos puntos en un segmento de línea donde la línea se divide en 3 partes iguales.
Si un punto P,Q es un punto de trisección para el segmento AB entonces AP : PQ : QB = 1 : 1 : 1
Pregunta 2: ¿Encuentre las coordenadas de un punto que divide el segmento de línea que une los puntos A (2, 1) y B (2, 7) en la proporción 1: 2?
Solución:
Dado,
Puntos del segmento de línea: (2,1) (2,7)
la razón en la que se divide el segmento de línea es 1: 2
Dado que el punto divide el segmento de línea internamente, usamos la fórmula de sección:
A (x, y) = ((mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n))
Sustituyendo valores como m = 1, n = 2, x 1 = 2, x 2 = 2 , y 1 = 1, y 2 = 7 obtenemos
A (x, y) = ((1*2 + 2*2) / (1 + 2), (1*7 + 2*1) / (1 + 2 ))
A (x, y) = (6/3, 9/3)
A (x, y) = (2, 3)
Por tanto, punto que divide el segmento de recta que une los puntos A (2, 1) y B (2) , 7) es (2, 3)
Pregunta 3: ¿Encuentre el punto medio del segmento de línea que une A (5, 3) y B (3, 7)?
Solución:
Dado,
Puntos del segmento de línea: (5,3) (3,7)
Fórmula del punto medio:
A (x, y) = ((x 2 + x 1 ) / 2, (y 2 + y 1 ) / 2)
A (x, y) = ((5 + 3) / 2, (3 + 7) / 2)
UN (x, y) = (8 / 2, 10 / 2)
UN (x, y) = (4, 5 )
Por lo tanto, el punto medio del segmento de recta que une A (5, 3) y B (3, 7) es (4, 5)
Pregunta 4: ¿Cuál es la razón en que la unión de los puntos (2, 1) y (2, 7) se divide por el punto (2, 3)?
Solución:
Dado,
Puntos del segmento de línea: (2,1) (2,7)
Punto que divide el segmento de línea: (2,3)
Dado que el punto divide el segmento de línea internamente, usamos la fórmula de la sección:
A (x, y) = ( (mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n))
Sustituyendo valores como x = 2, y = 3, y 1 = 1, y 2 = 7 obtener
=> 3 = (7m + n)/(m + n)
=> 3(m + n) = 7m + n
=> 3m + 3n = 7m + n
=> -7m + 3m = n – 3n
=> – 4m = -2n
=> m / n = 2/4
=> m : n = 1 : 2
Por tanto, la razón en que el punto (2,3) divide el segmento de recta que une (2,1),(2,7) es 1:2
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Artículo escrito por saipranavireddyneerudu y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA