Encuentra las coordenadas de los puntos de trisección del segmento de recta que une los puntos A(2, – 2) y B(– 7, 4)

Las matemáticas son una materia que está asociada con los números y los cálculos. Y, según el tipo de cálculo, las matemáticas se dividen en diferentes ramas como el álgebra, la geometría, la aritmética, etc.

Geometría Es la rama de las matemáticas que se ocupa de la forma y sus propiedades. La geometría que se ocupa de puntos, líneas y planos en los que intervienen coordenadas se denomina geometría de coordenadas.

Coordenadas 

La ubicación de cualquier punto en un plano se puede expresar como (x, y) y estos pares se conocen como las coordenadas, x es el valor horizontal de un punto en el plano. Este valor también se puede llamar coordenada x o abscisa , y es el valor vertical del punto en el plano. Este valor se puede llamar la coordenada y o la ordenada . En geometría de coordenadas, el punto se representa en el plano cartesiano.

plano cartesiano 

Es un plano formado por dos rectas perpendiculares que es el eje x (eje horizontal) y el eje y (eje vertical). La posición de un punto en el plano cartesiano se puede representar mediante el par ordenado (x, y).

Fórmula de sección

Si las líneas A y B tienen coordenadas (x ₁ , y ₁ ) y (x ₂ , y ₂ ) respectivamente y C es un punto que divide la línea en la razón m:n, entonces las coordenadas del punto P se dan como,

• Cuando la relación m:n es interna:

1. x = (mx ₂ + nx ₁ ) / (m + n)
2. y = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

• Cuando la relación es externa: cuando el punto se encuentra fuera del segmento de línea

1. x = (mx ₂  – nx ₁ ) / (m + n)
2. y = (mi ₂ – ny ₁ ) / (m + n)

Encuentra las coordenadas de los puntos de trisección del segmento de recta que une los puntos A(2, – 2) y B(– 7, 4).

Solución:

Se entiende por punto de trisección los puntos que pueden dividir una recta en tres partes iguales. Según la pregunta tenemos un segmento de recta que une A(2, -2) y B (-7, 4) y tenemos que encontrar los puntos que pueden dividir la recta AB en tres partes de igual longitud. Una línea AB como se muestra en el diagrama se da a continuación,

Supongamos que C y D son puntos de intersección,

Entonces, de acuerdo con la pregunta, se requieren las coordenadas de C y D.

En coordenadas, la fórmula de la sección se usa para encontrar un punto que divide una línea en una relación m:n. De acuerdo con la pregunta, sean C y D el punto de trisección que tiene coordenadas (x ₃ , y ₃ ) y (x ₄ , y ₄ ) respectivamente. Por lo tanto,

CA = CD = DB

Entonces, el punto C dividirá la línea AB en razón 1:2. Aplique la fórmula de la sección para obtener la coordenada del punto C.

Aquí,

m = 1, n = 2

x1 = 2, _{y1 =} -2

x2 = -7, _y2 = ₄

Aplicar fórmula de sección:

x ₃ = (mx ₂ + nx ₁ ) /(m + n)

= ((1)(-7) + (2)(2)) / (1 + 2)

=(-7 + 4) / 3

= -3/3

= -1

y ₄ = (mi ₂ + ny ₂ ) / (m + n)

= ((1)(4) + (2)(-2))/ (1+2)

= (4 – 4) / 3

= 0

Coordenada de C(x ₃ , y ₄ ) = (-1, 0)

C y D dividen a AB en tres partes iguales, luego CD = DB. Ahora, usando la fórmula de la sección o la fórmula del punto medio, calcule la coordenada de D.

D divide a CB en razón 1:1.

Ahora para la fórmula de la sección,

metro = 1, norte = 1

x1 = -1, _y1 = ₀

x2 = -7, _y2 = ₄

Aplicar fórmula de sección:

x ₄ = (mx ₂ + nx ₁ ) /( m + n)

= ((1)(-7) + (1)(-1)) / (1 + 1)

= ( -7 -1 )/ 2

= -8/2

= -4

y ₄ = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

= ((1)(4) + (1)(0))/ (1 + 2)

= (4) / 2

= 2

Coordenada de D(x ₄ , y ₄ ) = ( -4, 2)

Por tanto, (-1, 0) y (-4, 2) son los puntos de trisección del segmento de recta que une los puntos A(2, -2) y B(-7, 4). 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra las coordenadas de los puntos de trisección (es decir, puntos que se dividen en tres partes iguales) del segmento de línea que une los puntos A(0, 0) y B(0, 3).

Solución:

Sean C y D el punto.

Como AC = CD = DB, entonces C dividirá el segmento de línea AB en una proporción de 1:2.

Aquí,

m = 1, n = 2

x1 = 0, _y1 = ₀

x2 = ₀ , y2 ₌ 3

Aplicar fórmula de sección:

x ₃ = (mx ₁ + nx ₁ ) / (m + n)

= ((1)(0) + (2)(0)) / (1 + 2)

= (0) / 3

= 0

y ₄ = (mi ₁ + ny ₂ ) / (m + n)

= ((1)(3) + (2)(0)) / (1 + 2)

= (3) / 3

= 1

Coordenada de C(x ₃ , y ₃ ) = (0, 1)

Ahora, utilizando la fórmula de la sección o la fórmula del punto medio, calcule la coordenada de D. D divide a CB en una proporción de 1:1.

Ahora para la fórmula de la sección,

metro = 1, norte = 1

x1 = ₀ , y1 = ₁

x2 = ₀ , y2 ₌ 3

Aplicar fórmula de sección:

x ₄ = (mx ₂ + nx ₁ ) / (m + n)

= ((1)(0) + (1)(0)) / (1+1)

= ( 0 )/ 2

= 0

y ₄ = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

= ((1)(3) + (1)(1))/ (1 + 2)

= (4) / 2

= 2

Coordenada de D(x ₄ , y ₄ ) = ( 0, 2)

Pregunta 2: Encuentra las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de recta que une los puntos A(2, 4) y B(8,10) en proporción 1:2.

Solución:

Sea C el punto que divide el segmento de recta que une los puntos A(2, 4) y B(8,10) en proporción 1:2. Aquí,

metro = 1, norte = 2

x1 = 2, _y1 = ₄

x2 = 8, _{y2 =} 10

Aplicar fórmula de sección,

x= (mx ₂ + nx ₁ ) / (m + n)

= ((1)(8) + (2)(2)) / (1 + 2)

= (12 )/ 3

= 4

y = (mi ₂ + ny ₁ ) / (m + n)

= ((1)(10) + (2)(4))/ (1 + 2)

= (18) / 3

= 6

La coordenada del punto que divide al segmento AB en una proporción de 1:2 es (4, 6).