Energía potencial de un sistema de cargas

Cuando una fuerza externa trabaja para realizar un trabajo, como mover un cuerpo de un lugar a otro contra una fuerza como la fuerza de un resorte o la fuerza gravitacional, ese trabajo se recolecta y almacena como la energía potencial del cuerpo. Cuando se elimina la fuerza externa, el cuerpo se mueve, adquiere energía cinética y pierde una cantidad correspondiente de energía potencial. Como resultado, se conserva la energía cinética y potencial total. Las fuerzas conservativas son fuerzas de este tipo. La fuerza de resorte y la fuerza gravitacional son dos ejemplos de estas fuerzas.

La fuerza de Coulomb es una fuerza conservativa que existe entre dos cargas (estacionarias). Ambos tienen una relación de cuadrado inverso con respecto a la distancia, siendo la única diferencia las constantes de proporcionalidad. Las masas en la formulación de la ley gravitacional son sustituidas por cargas en la expresión de la ley de Coulomb. Así, la energía potencial electrostática de una carga en un campo electrostático se define de la misma forma que la energía potencial gravitatoria de una masa en un campo gravitatorio.

¿Qué es un potencial electrostático?

El trabajo realizado por una fuerza externa para transportar una unidad de carga positiva desde el infinito hasta un lugar es igual al potencial electrostático (V) en ese punto y se denomina potencial electrostático.

La energía potencial eléctrica es una cantidad escalar sin dirección y solo magnitud.

Está simbolizado por V y tiene la fórmula dimensional [ML ² T ^-3 A ^-1 ].

Potencial eléctrico debido a una carga puntual

Considere el origen de una carga puntual Q. Considere Q como positivo. Con el vector de posición r desde el origen, queremos encontrar el potencial en cualquier punto P. Para hacerlo, debemos calcular la cantidad de trabajo requerido para transportar una unidad de carga de prueba positiva desde el infinito hasta el punto P. Cuando Q > 0, el el trabajo realizado sobre la carga de prueba contra la fuerza de repulsión es positivo. Elegimos un camino práctico, a lo largo de la dirección radial desde el infinito hasta el punto P, ya que el trabajo realizado es independiente del camino.

El trabajo realizado al llevar una unidad de carga de prueba positiva desde el infinito hasta el punto P, contra la fuerza repulsiva de la carga Q (Q > 0), es el potencial en P debido a la carga Q.

La fuerza electrostática sobre una unidad de carga positiva en algún punto intermedio P′ en el camino es igual a

$\frac{Q\times1}{4\pi\epsilon_0r'^2}\hat{r'}$

donde $\hat{r'}$ es el vector unitario a lo largo de OP′ por lo tanto, el trabajo realizado contra esta fuerza de r′ a r′ + ∆r′ se puede escribir como

$\Delta{W}=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r'^2}\Delta{r'}$

El signo negativo representa ∆r′ < 0, ∆W es positivo. El trabajo total realizado (W) por la fuerza externa se determina integrando la ecuación anterior en ambos lados, desde r′ = ∞ hasta r′ = r,

$W=-\int_{∞}^{r} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r'^2}d{r'}\\ W=\left[\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r'}\right]_∞^r\\ W=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$

El potencial en P debido a la carga Q se puede expresar como

$V(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$

Energía potencial de un sistema de cargas

Considere la situación simple de dos cargas, q ₁ y q ₂ , con vectores de posición r ₁ y r ₂ relativos a un punto. Calculemos el trabajo que se dedicó a armar este arreglo (desde el exterior). Esto significa que primero comience con los cargos q ₁ y q ₂ en el infinito y luego calcule cuánto trabajo realizó una agencia externa para llevar los cargos a los destinos proporcionados. Suponga que la carga q ₁ se transfiere primero desde el infinito a r ₁ . Debido a que no existe un campo externo contra el cual se deba realizar el trabajo, la cantidad de trabajo requerida para llevar q ₁ desde el infinito hasta r ₁es cero Esta carga produce un potencial en el espacio que se puede escribir como,

$V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1P}}$

3 La energía potencial de un sistema de cargas q ₁ y q ₂ es directamente proporcional a las cargas producto e inversamente proporcional a la distancia entre ellas.

donde r _1P es la distancia de un punto P en el espacio desde la ubicación de q ₁ . De la definición de potencial, el trabajo realizado para llevar la carga q ₂ desde el infinito hasta el punto r2 es q2 veces el potencial en r2 debido a q ₁ ,

$\text{work done on q}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}}$

donde r ₁₂ es la distancia entre los puntos 1 y 2. Dado que la fuerza electrostática es conservativa, este trabajo se acumula en forma de energía potencial del sistema. Por lo tanto, la energía potencial de un sistema de dos cargas q ₁ y q ₂ se puede escribir como,

$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}}$ ……..(1)

Claramente, la energía potencial U sería la misma si q ₂ se transfiriera primero a su ubicación actual y q ₁ se trajera después.

La energía potencial es positiva si q ₁ q ₂ > 0. Esto es de esperar, porque la fuerza electrostática es repulsiva para cargas iguales (q ₁ q ₂ > 0), y se debe realizar un esfuerzo positivo contra ella para obtener la cargas desde el infinito hasta una distancia finita aparte. La fuerza electrostática es atractiva para cargas diferentes (q ₁ q ₂ < 0). Para llevar las cargas desde el punto especificado hasta el infinito, se requiere una cantidad positiva de trabajo contra esta fuerza. En otras palabras, el camino inverso (desde el infinito hasta los lugares presentes) requiere una cantidad negativa de trabajo, por lo que la energía potencial es negativa.

La energía potencial de un sistema de tres cargas.

La ecuación (1) se puede generalizar fácilmente a cualquier número de cargas puntuales en un sistema. Calcula la energía potencial de un sistema con tres cargas q _1, q ₂ y q ₃ a distancias r ₁ , r ₂ y r ₃ respectivamente. No se requiere trabajo para llevar q ₁ primero de infinito a r ₁ . Trae a continuación, trae q ₂ a r ₂ desde el infinito. Como se indicó anteriormente, el trabajo completado en este paso es

$q_2V_1(r_2)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}}$ ……(2)

Las cargas q ₁ y q ₂ generan un potencial, que en cualquier punto P se puede escribir como

$V_{1,2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1P}}+\frac{q_2}{r_{2P}}\right)$

El trabajo realizado a continuación para llevar q ₃ desde el infinito hasta el punto r ₃ es q ₃ veces V _1,2 en r ₃ se puede escribir como,

$q_3V_{1,2}(r_3)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$ …….(3)

El trabajo total realizado para recoger las cargas en los lugares dados se obtiene sumando las ecuaciones (2) y (3),

$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$

La fórmula final para U es independiente del método en el que se forma la configuración debido a la naturaleza conservativa de la fuerza electrostática (o, de manera equivalente, la independencia del camino del trabajo realizado). La energía potencial es una propiedad del estado actual de configuración, no del método por el cual se produjo.

Potencial debido a un Sistema de Cargos

El potencial en un punto debido a un sistema de cargas es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales.

Supongamos un sistema de cargas q ₁ , q ₂ ,…, q _n con vectores de posición r ₁ , r ₂ ,…, r _n relativos a algún origen. El potencial V ₁ en P debido a la carga q ₁ es

$V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1P}}$

donde r1P es la distancia entre q1 y P.

De manera similar, el potencial V ₂ en P debido a q ₂ y V ₃ debido a q ₃ se puede escribir como,

$V_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{2P}}\\ V_3=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_3}{r_{3P}}$

donde r _2P y r _3P son las distancias de P a las cargas q ₂ y q ₃ , respectivamente; y así sucesivamente para el potencial debido a otras cargas. Por el principio de superposición, el potencial V en P debido a la configuración de carga total es la suma algebraica de los potenciales debido a la carga individual, es decir,

V = V ₁ + V ₂ + V ₃ +…… + V _norte

La expresión anterior se puede expresar como,

$V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1P}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{2P}}+ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_3}{r_{3P}}+.....+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_n}{r_{nP}}\\ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1P}}+\frac{q_2}{r_{2P}}+\frac{q_3}{r_{3P}}+...+\frac{q_n}{r_{nP}}\right)$

Una distribución de carga continua con una densidad de carga ρ (r), debe dividirse en pequeños elementos de volumen de tamaño ∆v, cada uno con una carga ρ ∆v. Luego calcule el potencial debido a cada elemento de volumen y sume (o, más precisamente, integre) todas estas contribuciones para obtener el potencial total debido a la distribución.

Problemas de muestra

Problema 1: Dos cargas de 3 × 10 ^–8 C y –2 × 10 ^–8 C están ubicadas a 15 cm de distancia. ¿En qué punto de la línea que une las dos cargas el potencial eléctrico es cero? Tome el potencial en el infinito como cero.

Solución:

Tomemos el origen O en la ubicación de la carga positiva. La línea que une las dos cargas se toma como el eje x; la carga negativa se toma en el lado derecho del origen.

Sea P el punto esperado en el eje x donde el potencial es cero. Si x es la coordenada x de P, y por lo tanto x debe ser positivo. Si x se encuentra entre O y A, entonces

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{3\times10^{-8}}{x\times10^{-2}}-\frac{2\times10^{-8}}{(15-x)\times10^{-2}}\right]=0$

Reorganizar la ecuación anterior para encontrar el valor de x,

$\frac{3}{x}-\frac{2}{(15-x)}=0\\ 45-3x-2x=0\\ 5x=45\\ x=9$

lo que da x = 9 cm.

Si x está en la línea extendida OA, la condición requerida es

$\frac{3}{x}-\frac{2}{(x-15)}=0\\ 3x-45-2x=0\\ x=45$

lo que resulta x = 45 cm.

Del lado de la carga negativa, un potencial eléctrico es cero a 9 cm y a 45 cm de la carga positiva.

Problema 2: Las figuras (a) y (b) muestran las líneas de campo de una carga puntual positiva y negativa respectivamente.

(a) Dé los signos de la diferencia de potencial V _P – V _Q ; VB – _VA . _{_}

(b) Dé el signo de la diferencia de energía potencial de una pequeña carga negativa entre los puntos Q y P; A y B.

(c) Dé el signo del trabajo realizado por el campo al mover una pequeña carga positiva de Q a P.

(d) Dé el signo del trabajo realizado por el agente externo al mover una pequeña carga negativa de B a A.

(e) ¿La energía cinética de una pequeña carga negativa aumenta o disminuye al ir de B a A?

Solución:

(a) Como V ∝ (1/r) y V _P > V _Q . Por lo tanto, (V _P – V _Q ) es positivo. Además, V _B es menos negativo que V _A . Por lo tanto, V _B > V _A o (V _B – V _A ) es positivo.

(b) Una pequeña carga negativa será atraída hacia una carga positiva. La carga negativa se mueve de mayor energía potencial a menor energía potencial. Por lo tanto, el signo de la diferencia de energía potencial de una pequeña carga negativa entre Q y P es positivo. De manera similar, V _A > V _B y, por lo tanto, el signo de las diferencias de energía potencial es positivo.

(c) Al mover una pequeña carga positiva de Q a P, un agente externo debe realizar trabajo contra el campo eléctrico. Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo es negativo.

(d) Al mover una pequeña carga negativa de B a A, la agencia externa debe realizar un trabajo. es positivo

(e) Debido a la fuerza de repulsión sobre la carga negativa, la velocidad disminuye y, por lo tanto, la energía cinética disminuye al ir de B a A.

Problema 3: Una carga de 500 µC está en el centro de un cuadrado de 10 cm de lado. Encuentre el trabajo realizado al mover una carga de 10 µC entre dos puntos diagonalmente opuestos en el cuadrado.

Solución:

Debido a que estas dos ubicaciones están en equipotencialidad, el trabajo realizado al transportar una carga de 10 C entre dos puntos diagonalmente opuestos en el cuadrado será cero.

Problema 4: (a) ¿Pueden intersecarse dos superficies equipotenciales? Dar razones.

(b) Dos cargas -q y + q están ubicadas en los puntos A (0, 0, – a) y B (0, 0, +a) respectivamente. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover una carga de prueba del punto P (7, 0, 0) a Q (-3, 0, 0)?

Solución:

(a) No, si se cruzan, el campo eléctrico estará en dos direcciones distintas, lo cual es incorrecto. Si se cruzan, habrá dos valores potenciales en el mismo punto de intersección. Como esto no es concebible, dos superficies equipotenciales no pueden encontrarse.

(b) El trabajo realizado será cero ya que ambos puntos P y Q están en la línea ecuatorial del dipolo, que tiene V = 0 en todos los puntos. Además, debido a que la fuerza de cualquier carga es perpendicular a la línea ecuatorial, no se realiza ningún trabajo.

Problema 5: «Para cualquier configuración de carga, la superficie equipotencial a través de un punto es normal al campo eléctrico». Justificar.

Solución:

El trabajo realizado al mover una carga sobre una superficie equipotencial es cero, por lo que un punto sobre ella será normal al campo eléctrico.

W = Fs cos θ

∴ cos θ = 0

o

θ = 90 ^o

Problema 6: ¿Por qué el potencial electrostático dentro de un conductor hueco cargado debe ser el mismo en todos los puntos?

Solución:

Debido a que el campo eléctrico dentro del conductor hueco cargado es cero, no se realiza ningún trabajo al mover una pequeña carga de prueba dentro del conductor. Como resultado, el potencial electrostático dentro de un conductor cargado hueco permanece constante.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anoopraj758 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

¿Qué es un potencial electrostático?

Potencial eléctrico debido a una carga puntual

Energía potencial de un sistema de cargas

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