Entendiendo el teorema de Markov con un ejemplo

En este artículo, discutiremos la descripción general del teorema de Markov y también discutiremos la expresión del teorema de Markov, y finalmente concluiremos con un ejemplo para entender el teorema de Markov. Discutámoslo uno por uno.

Teorema de Markov :   el
teorema de Markov establece que si R es una variable aleatoria no negativa (es decir, mayor o igual a 0), entonces, para cada entero positivo x, la probabilidad de que la variable aleatoria R sea mayor o igual que ese entero positivo x está acotado superiormente por el valor esperado de la variable aleatoria R sobre x.

Expresión del Teorema de Markov: 
Matemáticamente, se puede escribir de la siguiente manera.

If R >=0 , then ∀ x >0,
P(R>=x) <= Ex( R ) / x

Puntos para recordar:
tenga en cuenta que la variable aleatoria R tiene que ser no negativa para aplicar el teorema de Markov anterior.

If R is non-negative ∀ C > 0, then
P (R >= c*Ex( R ) ) <= 1/c 

Una versión extendida del teorema de Markov establece la siguiente expresión de la siguiente manera.

If R ≤ U for some U in the set of a real number ( U ∈ IR) then,
∀ x >0,
P(R ≤ x) ≤ (U - Ex( R ) ) / ( U- x )

Ejemplo:  
Aquí, discutiremos el ejemplo para entender este Teorema de Markov de la siguiente manera. 
Digamos que en una prueba de clase de 100 puntos, la calificación promedio obtenida por los estudiantes es 75. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar de la clase tenga menos de 0r igual a 50 puntos?

Para resolver esto, definamos una variable aleatoria R = Puntaje de un estudiante aleatorio. Dado que R tiene un límite superior de 100, usamos la versión extendida del teorema de Markov como se discutió anteriormente.

Ahora, utilizando la siguiente expresión del teorema de Markov, resolveremos este problema de la siguiente manera.

Expression :
If R >=0 , then ∀ x >0,
P(R>=x) <= Ex( R ) / x 

So, U = 100,
Ex ( R ) = 75
then, use the above formulae,
P (R <= 50 ) = (  100-  75) / ( 100- 50  ) = 25/ 50 = 1/2
which gives the answer as 0.5 

Por lo tanto, la probabilidad de que la puntuación de un estudiante al azar sea casi 50 tiene un límite superior de 0,5