Expansión decimal de números reales

La combinación de un conjunto de números racionales e irracionales se llama números reales . Todos los números reales se pueden expresar en la recta numérica. Los números distintos de los números reales que no se pueden representar en la recta numérica se denominan números imaginarios (números irreales). Se utilizan para representar números complejos . A continuación se muestra un diagrama de clasificación de números reales.

Expansión decimal

Antes de entrar en una representación de la expansión decimal de los números racionales, comprendamos qué son los números racionales . Un número racional es un número que se puede escribir en forma de p/q donde p, q son números enteros y q != 0. Ejemplo: 2/3, 1/4, 4/5, etc. Los números racionales se denotan por Q . Como todo entero se puede representar en forma p/q, todos los enteros son números racionales.

Ejemplo: -1, -2, -6, 4, 5 se pueden representar como -1/1, -2/1, 4/1, 5/1

Generalmente hay 3 tipos de expansión decimal:

1. terminación
2. Repetición sin terminación
3. Sin terminación No repetitivo

Terminación de decimales

Los decimales terminales son aquellos números decimales que tienen un número finito de dígitos. Eso significa que el número termina después de un punto decimal después de un cierto número de repeticiones.

Ejemplo: 0,5, 0,678, 14,123445, 1,23, 0,00024, etc. 

Decimales no terminales

Los decimales no terminales son aquellos números decimales que tienen un número infinito de dígitos. Aquí el número no llega a su fin.

Ejemplo: 1.33333….., 52.36363636…, 2.343537684904…, 3.1415926535897…, etc.

Decimales periódicos: Los decimales periódicos son aquellos números en los que un número específico se repite uniformemente después de un punto decimal.

Ejemplo: 0.5555…, 13.262626…, 1.8769876…, etc.

Nota: Los decimales periódicos y no terminales son números racionales. Se pueden expresar en forma p/q, donde q != 0.

Decimales no periódicos: en los decimales no periódicos, no hay una repetición uniforme de un número.

Ejemplo: 4.345627238…, 1.61803398…, 2.718281828459.., 1342.352567545…, etc.

Nota: Los decimales que no son terminales ni periódicos son números irracionales. No se pueden expresar en forma p/q.

Convertir decimales periódicos en fracciones

Caso 1: Fracciones de tipo 0.yyyyy… o 0.xyxyxyxy…… o 0.xyzxyzxyz…. etc.

Ejemplo 1: Convertir 0.4444…. a una fracción?

Solución:

Sea x = 0.4444…. — ecuación(1) 

como solo un término (4) se repite, multiplique la ecuación (1) con 10.

10x = 4.4444…. — ecuación(2)

Ahora reste eq(1) de eq(2) [eq(2) – eq(1)]

9x = 4

=> x = 4/9 

Ejemplo 2: Convertir 0.45454545…. a una fracción?

Solución:

Fórmula = Término repetido/número de 9 para el término repetido

0.45454545… = 45 (término repetido)/99 (Dos 9 ya que solo se repiten dos términos) = 45/99

Caso 2: Fracciones de la forma 0.abcxyxyxyxyxy… (la combinación de repetición y no repetición)

Fórmula: 0.abcxyxyxyxy…. = abcxy – (xy/número de 9 para el término que se repite y número de 0 para el término que no se repite)

Ejemplo 1: ¿Convertir 0.45232323… a fracción?

Solución:

Aquí 45 no se repite y 23 se repite. Entonces, en el numerador, restamos el término que no se repite (45) del número y tenemos dos términos que se repiten (2, 3). En el denominador, colocamos dos 9 seguidos de dos ceros, ya que tenemos dos términos que no se repiten (45).

0,45232323… = 4523 – (45/9900)

Ejemplo 2: ¿Convertir 0.000456456… a fracción?

Solución:

Aquí 000 no se repite y 456 se repite. Entonces, en Numerador, restamos 000 de 000456. En el denominador, como tenemos tres términos que se repiten, colocamos tres 9 seguidos de tres 0 para tres términos que no se repiten.

0.000456456…. = 000456 – (000/999000)

                         = 456/999000

Propiedades de los números racionales

Propiedad de cierre

Si sumamos, restamos o multiplicamos dos números racionales, el resultado es un número racional. La propiedad de cierre no se aplica a la división ya que cualquier número dividido por cero (número racional) no está definido. Aparte de cero, es aplicable.

Ejemplo: 

2/3 + 3/4 = 17/12

3/4 – 2/6 = 5/12

4/5 * 3/2 = 12/10

Propiedad conmutativa

Para dos números racionales cualesquiera, la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la división y la resta no siguen la propiedad conmutativa.

Ley conmutativa de la suma: a + b = b + a

Ejemplo: 1/2 + 4/3 = 4/3 + 1/2 = 11/6

Ley conmutativa de la multiplicación: a * b = b * a 

Ejemplo: 2/7 * 5/8 = 5/8 * 2/7 = 10/56

Propiedad asociativa

Para la suma y la multiplicación, la propiedad asociativa va seguida de números racionales. Sean a, b, c tres números racionales entonces,

Propiedad asociativa de la suma: a + (b + c) = (a + b) + c

Propiedad asociativa de la multiplicación: a * (b * c) = (a * b) * c

Propiedad distributiva

Según la propiedad distributiva, sean a, b, c tres números racionales, entonces a * (b + c) = a * b + a * c.

Ejemplo: 

1/2 * (2/3 + 1/3) = 3/6

=> 1/2 * 2/3 + 1/2 * 1/3 = 3/6

Propiedad de identidad

La identidad aditiva de los números racionales es 0

Ejemplo: 5/9 + 0 = 5/9

La identidad multiplicativa de los números racionales es 1

Ejemplo: 7/8 * 1 = 7/8

Propiedad inversa

El inverso aditivo de un número racional a/b es -a/b

Ejemplo: el inverso aditivo de 4/6 es -4/6

El inverso multiplicativo de un número racional a/b es b/a

Ejemplo: 3/8 el inverso multiplicativo es 8/3