Forma pendiente-intersección de líneas rectas

Las líneas rectas se pueden ver como un punto que se extiende indefinidamente en dos direcciones opuestas cualesquiera. Una línea recta es aquella que no tiene curvas y cubre un número infinito de puntos. 

Propiedades de una recta 

• Un número infinito de rectas pasan por un punto
• Un número infinito de planos contienen una línea recta (cuando se ve en 3 dimensiones)
• Una línea recta tiene un número infinito de puntos
• El segmento de línea que une dos puntos cualesquiera en una línea recta se encuentra en la línea recta

Terminologías básicas

• Punto: Un punto es una figura geométrica adimensional que tiene una ubicación (con respecto a alguna referencia, por ejemplo: puntos en un sistema de coordenadas).

• Plano: Una superficie plana del área infinita. Es bidimensional.
• Rayo: Un punto cuando se extiende indefinidamente en cualquier dirección en un plano forma un rayo.

• Segmento de línea: La curva más corta que une dos puntos se llama segmento de línea.

Las líneas rectas se estudian en 2-D y 3-D. Vamos a discutir líneas rectas en 2-D y para este propósito, usamos el sistema de coordenadas.

Ejes de coordenadas

Dos rectas perpendiculares que dividen el plano (de nuestra consideración) en 4 regiones llamadas cuadrantes. 

Sea AB una recta en este plano. Sea w° el ángulo entre la línea AB y el eje X. Entonces la línea AB puede ser:

• Paralelo al eje X, w = 0° 
• Paralelo al eje Y, w = 90°
• En un ángulo w° con el eje X (ver Fig. a continuación), 0° < w° < 180°

Pendiente de una línea recta

Se define como la tangente del ángulo (aquí tan(w)) entre la línea y el eje X como se muestra a continuación:

pendiente de la recta AB

= bronceado(w) 

= (0 – t) / (s – 0) 

= t/s

es decir, si (x ₁ , y ₁ ) y (x ₂ , y ₂ ) son dos puntos en la línea AB entonces, 

pendiente de la recta AB

= bronceado(w) 

= (y2 – y1) / (x2 – x1)

= (y1 – y2) / (x1 – x2) 

= distancia entre la coordenada y de ambos puntos / distancia entre la coordenada x de ambos puntos

X-intersección

El punto de intersección de una recta y el eje x se llama intersección x.

Ejemplo: aquí, s es la intersección x de la línea AB

intersección Y

El punto de intersección de una línea y el eje y se llama intersección y.

Ejemplo : aquí, t es la intersección y de la línea AB

Ecuaciones De Líneas Rectas

Las líneas rectas se pueden representar de varias formas:

• Forma pendiente-intersección 
• Forma punto-pendiente 
• Forma de dos puntos, etc.

Vamos a discutir (i) pendiente-intersección teniendo en cuenta la figura anterior.

La ecuación de la línea recta en forma de pendiente-intersección es:

y = pendiente * x + c 

y = tan(w) * x + c

y = mx + c

Aquí m = tan(w) = pendiente de la línea AB y c es la intersección con el eje y.  

Ejemplos de problemas sobre líneas rectas

Ahora, podemos hacer fácilmente las siguientes tareas:

Problema 1: Escribe la ecuación de una línea recta cuya pendiente es p y el intercepto en y es g.

Solución: y = p * x + g

Problema 2: Escribe la ecuación de una línea recta cuya pendiente es 1/2 y el intercepto en y es 11.

Solución: y = (1/2) * x + 11

Problema 3: Escribe la ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 1/6.

Solución: 

Como la recta pasa por el origen, 

Intersección Y = 0

y = (1/6) * x + 0

y = (1/6)x,

cuál es la ecuación requerida.

Problema 4: Encuentra la pendiente y el intercepto en y de la línea representada por la ecuación y = tx + 4

Solución: 

La ecuación de la línea dada está en forma de pendiente-intersección.

Por lo tanto, la pendiente de la recta dada es t y su intersección con el eje y es 4.

Problema 5: Encuentra la pendiente y el intercepto en y de la línea representada por la ecuación y + 4 = x

Solución: 

La ecuación dada no está en forma de pendiente-intersección. 

Por lo tanto, lo convertimos a esa forma.

y = x – 4

y = 1 * x – 4

Por lo tanto, la pendiente de la línea dada es 1 y su intersección con el eje y es -4.

Problema 6: Encuentra la pendiente y el intercepto en y de la recta representada por la ecuación x = y/q

Solución: 

La ecuación dada no está en forma de pendiente-intersección. 

Por lo tanto, lo convertimos a esa forma.

y = qx

y = qx + 0

Por lo tanto, la pendiente de la recta dada es q y su intersección con el eje y es 0.

Problema 7: Encuentra la pendiente y el intercepto en y de la línea representada por la ecuación x = d

Solución: 

La ecuación dada no está en forma de pendiente-intersección. 

Además, la variable y no está presente en la ecuación, es decir, la ecuación de esta línea es independiente del valor de la variable y.

Ecuaciones como esta representan líneas que son paralelas al eje y.

Para líneas que son paralelas al eje y w = 90°, 

por tanto, la pendiente de estas líneas no está definida porque tan(90°) no está definida.

Dado que la línea es paralela al eje y, nunca se cruza con el eje y, por lo tanto, no tiene intersección en y.

Problema 8: Encuentra la pendiente y el intercepto en y de la línea representada por la ecuación y = h

Solución:  

La ecuación dada no está en forma de pendiente-intersección. 

Además, la variable x no está presente en la ecuación, es decir 

la ecuación de esta recta es independiente del valor de la variable x.

Ecuaciones como esta representan líneas que son paralelas al eje x. 

La ecuación dada se puede reescribir como:

y = 0x + h,
que es la forma de intersección de la pendiente de la línea dada.

Por lo tanto, la pendiente de la línea dada es 0 y su intersección con el eje y es h.

Ejemplos de problemas verbales 

Problema 1: La tarifa base para viajar en taxi es de 30 rupias por los primeros 2 km. Después de esto, el ciclista paga 4 rupias por km. Calcula la tarifa para viajar la distancia de 14 km formando una ecuación lineal.

Solución: 

Tarifa base = 30 rupias, esto significa que 30 rupias es la tarifa mínima.

Por lo tanto, la tarifa para las distancias de 1 m a 2000 m (2 km) es de 30 rupias. 

La tarifa para distancias después de 2 km es de Rs. 4/km. 

Sea la distancia total recorrida d km y el costo total Rs c. 

El cargo hasta los primeros 2 km es de 30 rupias. 

El cargo por el resto del cargo de km (d-2) es Rs 4 * (d – 2).

Por lo tanto, la tarifa total viene dada por la ecuación, 

c = 4 * (d – 2) + 30 

do = 4 * re – 8 + 30 

c = 4 * re + 22,

(que es de la forma pendiente intersección) 

Dado, d = 14 km, 

Por lo tanto, el costo total, 

c = 4 * 14 + 22 

= 56 + 22 

= 78 

Por lo tanto, la tarifa para viajar la distancia de 14 km es de 78 rupias. 

Problema 2: La tarifa base para viajar en taxi es de 30 rupias por los primeros 2 km. Después de esto, el ciclista paga 4 rupias por cada 600 m. Calcula la tarifa para viajar la distancia de 14 km formando una ecuación lineal.

Solución: 

Tarifa base = 30 rupias, esto significa que 30 rupias es la tarifa mínima. 

Por lo tanto, la tarifa para las distancias de 1 m a 2000 m (2 km) es de 30 rupias. 

La tarifa para distancias posteriores a 2 km es de 4 rupias por 600 m.

Sea la distancia total recorrida d km y el costo total Rs c. 

Hasta los primeros 2 km, el cargo es de 30 rupias.

Distancia restante = (d – 2)km 

Cargo por 600 m = Rs 4 

Cargo por 1 m = Rs (4/600) ———(método unitario)

Cargo por 1000m = Rs. (4 / 600) * 1000 = Rs (40/6) 

Por lo tanto, el cargo por km después de los primeros 2 km es Rs (40/6) por km.

El cargo por el resto de los (d – 2) km es Rs (40/6) * (d – 2).

Por lo tanto, la tarifa total viene dada por la ecuación, 

c = (40/6) * (d – 2) + 30 

c = (40/6) * d – 20/6 + 30 

do = (20/3) * re + (-20 + 180) / 6 

c = (20/3) * d + (160/6) 

c = (20/3) * d + (80/3),

(que es de la forma pendiente-intersección)

Dado, d = 14 km, 

Por lo tanto, el costo total,

c = (20/3) * 14 + (80/3) 

= (280/3) + (80/3) 

= 360/3 

= 120 (aprox.)

Por lo tanto, la tarifa total para viajar la distancia de 14 km es de 120 rupias (aproximadamente).

Problema 3: El avión número 13 propiedad de Earth Airlines está en reparación. Se informa al ingeniero que las aerolíneas podrían sufrir una pérdida de 1300 rupias por 12 minutos hasta que se repare. Se le dijo al ingeniero que las aerolíneas no sufrirían una pérdida superior a Rs5000 y que la cantidad adicional se deduciría de su salario. Calcular

• El tiempo máximo en minutos dentro del cual el ingeniero tiene que reparar el avión.
• El tiempo total tomado si la pérdida total es Rs 6000

Solución: 

Pérdida en 12 min = Rs. 1300 

Pérdida en 1 min = Rs. (1300/12) = Rs. (325/3)

Por lo tanto, la pérdida por minuto es de Rs. (325/3). 

(i)
Sea el tiempo máximo t minutos.

Por lo tanto, t * (325/3) = 5000

o t = (5000 * 3)/325

o t = 46,15 minutos = 46 minutos (aprox.)

Así, el ingeniero tiene que reparar el avión en 46 minutos.

(ii)
Pérdida total = Rs 6000 (Dado)

Sea el tiempo necesario para esta pérdida k minutos.

Tiempo requerido para pérdida de Rs(325/3) = 1 min (método unitario)

Tiempo requerido para la pérdida de Rs 1 = 1 * (3/325)min

Por lo tanto, el tiempo requerido para la pérdida de Rs 6000 = 6000 * (3/325) minutos = 55,384 minutos

Problema 4: X e y son dos números de 2 cifras que cumplen las siguientes condiciones:

• y > x
• x + y = m, donde m es el número de 2 dígitos obtenido al invertir los dígitos de y
• y – x = x – 1
• Dígito de las decenas de y – Dígito de las unidades de y = -2

Encuentra los dos números.

Solución:

y – x = x – 1, ——-condición(iii) se puede reescribir como

y = x + x – 1

y = 2x – 1 ———-(1)

Sean a y b respectivamente las cifras de las decenas y unidades del número y.

Esto significa que y = 10a + b  

y m = 10b + a

De la condición (ii),

x + y = metro

x + 10a + b = 10b + a

9a – 9b + x = 0

9(a – b) + x = 0

9 * (-2) + x = 0, ——-condición (iv)

-18 + x = 0

Por lo tanto, x = 18 

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (1),

y = 2 * 18 – 1

y = 36 – 1

Por lo tanto, y = 35

Problema 5: La suma de las puntuaciones de dos amigos en una materia es 100. La diferencia de sus puntuaciones en esa misma materia es 10. Encuentra sus puntuaciones. 

Solución: 

Sean x e y las puntuaciones tales que x > y.

Dado, x + y = 100 —-(1)

y x – y = 10 —-(2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2), 

x + y + x – y = 100 + 10

2x + 0y = 110

2x = 110

x = 110/2 = 55

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (2)

55 – y = 10 

55 – 10 = y

y = 45

Por tanto, sus puntuaciones son 45 y 55.