Fórmula de distribución uniforme

La probabilidad es uno de los fundamentos de las matemáticas. Es la distribución de probabilidad la que representa resultados igualmente probables, es decir, la probabilidad de que ocurra cada uno es la misma. Hay dos tipos de distribución uniforme: distribución uniforme discreta y distribución uniforme continua (el tipo más común en las estadísticas elementales). Define la función de densidad de la variable aleatoria, la media y la varianza.   

Distribución uniforme

Una distribución uniforme es una distribución que tiene una probabilidad constante debido a eventos que ocurren con la misma probabilidad. También se conoce como distribución rectangular (distribución uniforme continua). Tiene dos parámetros a y b: a = mínimo yb = máximo. La distribución se escribe como U(a, b). Los tipos de distribución uniforme son:

1. Distribución Uniforme Continua: Una distribución de probabilidad uniforme continua es una distribución que tiene un número infinito de valores definidos en un rango específico. Tiene un gráfico de forma rectangular llamado distribución rectangular. Trabaja sobre los valores que son de naturaleza continua. Ejemplo: generador de números aleatorios
2. Distribución uniforme discreta: una distribución de probabilidad uniforme discreta es una distribución que tiene un número finito de valores definidos en un rango específico. Su gráfico contiene varias líneas verticales para cada valor finito. Funciona en valores que son discretos en la naturaleza. Ejemplo: Se lanza un dado.

Gráfica de Distribución Uniforme:

Calculando la altura del rectángulo:

La probabilidad máxima de la variable X es 1, por lo que el área total del rectángulo debe ser 1.

Area del rectangulo = base * altura = 1

(b – a) * f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = altura del rectángulo 

Nota: Distribución uniforme discreta: Px = 1/n. Donde, P _x = Probabilidad de una variable discreta, n = Número de valores en el rango 

Fórmula de distribución uniforme

Se dice que una variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo -∞ < a < b < ∞. Fórmulas para distribución uniforme:

Función de densidad de probabilidad (pdf)	f(x) = 1/( segundo – un), un ≤ x ≤ segundo
Media (μ)	= (a + b)/2
Varianza (σ 2 )	= μ 2 ‘ – μ 2  =     = (b – a ) 2/12
Desviación estándar (σ)	= (b – a)/√12
Función de distribución acumulativa (cdf)	= (x – a)/(b – a) para x ∈ [a , b]
Mediana	= (a + b)/2
Para la probabilidad condicional = P( c < x < d )	= (d – c) * f(x) = (d – c)/(b – a)

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre (-2, 2), 

(i) encontrar k para el cual P(X>k) = 1/2 (ii) Evaluar P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Solución:

(i) X =f(x) = 1/(ba) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 – 

= 1 – (1/4).  =1 – (k+2)/4 = 1/2 

Resolviendo obtenemos k = 0

(ii) P(X<1) =   =(1/4). = 3/4  

(iii) P[|X-1| <1] = P[1-1<X<1+1] = P[0 < x < 2] =  = (1/4).  = 1/4 

Pregunta 2: Si X se distribuye uniformemente en (-1, 4) entonces

(i) su media es ______________. 

(ii) su varianza es ______________.

(iii) su desviación estándar es ___________.

(iv) su mediana es ______________. 

Solución:

Aquí, a = -1 y b = 4

(i) Media (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Varianza(σ ² ) = (4+1) ² /12 = 2.08

(iii) Desviación estándar (σ) =√2.08 = 1.443

(iv) Mediana = (4-1)/2 = 1,5

Pregunta 3: Si hay 52 cartas en la baraja tradicional de cuatro palos: corazones, picas, tréboles y diamantes. Cada suite contiene 13 cartas de las cuales 3 cartas son cartas con figuras. El nuevo mazo se forma excluyendo el número de cartas. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazón del mazo modificado?

Solución:

En la pregunta, el número dado de tarjetas es finito, por lo que es una distribución uniforme discreta.

La fórmula para la probabilidad en distribución uniforme discreta es P(X) = 1/n

Probabilidad de obtener corazón en el mazo modificado = 1/4 = 0,25

Pregunta 4: Usando la función de densidad de probabilidad de distribución uniforme para la variable aleatoria X, en (0, 20), encuentre P(3< X < 16).

Solución:

Aquí, a = 0, b = 20

f(x) = 1/(20 – 0) = 1/20

P(3< X < 16) = (16 – 3) * (1/20) = 13/20 

Pregunta 5: Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre (-5, 6), encuentre la función de distribución acumulativa para x = 3.

Solución:

Aquí, a = -5, b = 6, x = 3

CDF = (3 – (-5))/(6 – (-5)) = 8/11