Fórmula de ecuación exponencial

Los exponentes se usan en ecuaciones exponenciales, como su nombre lo indica. El exponente de un número (base) indica cuántas veces se ha multiplicado el número (base). Una ecuación exponencial es aquella en la que la potencia es una variable y forma parte de una ecuación. 

Ecuaciones exponenciales

Una variable es el exponente (o una parte del exponente) en una ecuación exponencial. Por ejemplo, 

• 3x ⁼ 243
• 5 ^{x – 3} = 125
• 6 ^{y – 7} = 216

Los ejemplos anteriores representan ecuaciones exponenciales. Observa cómo las variables x e y forman el exponente completo de la ecuación o solo una parte de él. Las ecuaciones exponenciales se usan más comúnmente para resolver problemas relacionados con el interés compuesto, el crecimiento exponencial, la disminución, etc.

Tipos de ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales se clasifican en tres categorías. Estos son sus nombres:

• Las ecuaciones en ambos lados tienen la misma base. Este tipo de ecuaciones se pueden resolver igualando sus exponentes. Ejemplo:

12 ^x = 12 ²

• Las ecuaciones con bases distintas podrían modificarse para tener la misma solución. Luego, cuando se han igualado las bases, se pueden igualar sus exponentes para resolver la variable. Ejemplo:

12 ^x = 144 se puede representar como 12 ^x = 12 ²

• Ecuaciones que no se pueden construir para que tengan la misma base. Estas ecuaciones se pueden resolver aplicando un logaritmo en ambos lados. Ejemplo:

2 ^x = 9 se puede resolver como log ₂ 9 = x

Problemas de muestra

Pregunta 1. Resuelve la ecuación exponencial: 10 ^x = 10 ¹⁰ .

Solución:

Claramente, las bases en ambos lados de la ecuación dada son iguales, entonces sus exponentes también deben ser iguales. 

Por lo tanto, x = 10.

Pregunta 2. Resuelve: 6 ^{z – 7} = 216.

Solución:

Sabemos que 216 = 6 ³ .

⇒ 6 ^{z – 7} = 6 ³

Claramente, las bases en ambos lados de la ecuación dada son iguales, entonces sus exponentes también deben ser iguales. 

⇒ z − 7 = 3

⇒ z = 3 + 7

⇒ z = 10

Pregunta 3. Resuelve: (−5) ^x = 625.

Solución:

Sabemos: 625 = 5 ⁴ = (−5) ⁴

⇒ (−5) ^x = (−5) ⁴

Claramente, las bases en ambos lados de la ecuación dada son iguales, entonces sus exponentes también deben ser iguales. 

⇒ x = 4

Pregunta 4. Resuelve: 5 ^x = 4.

Solución:

Como las bases no se pueden igualar entre sí en la ecuación dada, necesitamos aplicar logaritmos para resolver x.

⇒ registro 5 ^x = registro 4

Según la propiedad log a ^m = m log a, tenemos:

⇒ x logaritmo 5 = logaritmo 4

Divide LHS y RHS por log 5.

⇒ x = log 4/log 5.

Pregunta 5. Resuelve: 7 ^{3x + 7} = 490.

Solución:

Aplicar log en ambos lados de la ecuación dada,

registro 7 ^{3x + 7} = registro 490

Según la propiedad log a ^m = m log a, tenemos:

(3x + 7) logaritmo 7 = logaritmo 490 … (1)

x = -5/3 + (1/(3 log 7))

Pregunta 6. Resuelve: 5 ^{x – 4} = 125.

Solución:

Sabemos: 125 = 5 ³

⇒ (5) ^x-4 = (5) ³

Claramente, las bases en ambos lados de la ecuación dada son iguales, entonces sus exponentes también deben ser iguales.

⇒ x − 4 = 3

⇒ x = 7

Pregunta 7. Resuelve: 9 ^{n + 1} = 729.

Solución:

Sabemos: 729 = 9 ³

⇒ (9) ⁿ⁺¹ = (9) ³

Claramente, las bases en ambos lados de la ecuación dada son iguales, entonces sus exponentes también deben ser iguales.

⇒ norte + 1 = 3

⇒ norte = 2