Fórmula de impulso de energía

La relación energía-momento es una ecuación relativista que se puede usar para vincular la masa, la energía total y el momento de un objeto mientras está en reposo. Esta ecuación relativista se aplica a un cuerpo macroscópico cuya masa en reposo es m ₀ , la energía total es E y la magnitud del momento es p, donde c denota la velocidad de la luz como la constante. Esta ecuación se aplica a un sistema con energía total E, masa invariante m ₀ y cantidad de movimiento de tamaño p; la constante c es la velocidad de la luz. Tiene en cuenta el escenario de la relatividad especial del espacio-tiempo plano. La energía total es el total del reposo y la energía cinética, mientras que la masa invariable es la masa medida en un marco de centro de masa.

En ambos significados, la relación energía-cantidad de movimiento es congruente con la bien conocida relación masa-energía: E = mc ² describe la relación entre la energía total E y la masa relativista (total) m (también conocida como mrel o mtot), mientras que E ₀ = m ₀ c ² describe la relación entre la energía en reposo E ₀ y la masa en reposo (invariable) m ₀ .

Fórmula de impulso de energía

La fórmula para la relación energía-momento se da de la siguiente manera,

$E=\sqrt{p^2c^2+(m_0c^2)^2}$

Dónde,

E representa la energía.

p es el momento del objeto.

c = velocidad de la luz

m ₀ = masa en reposo

Derivación de la fórmula energía-momento

La relación energía-cantidad de movimiento puede derivarse combinando la relación de Einstein con la expresión de la cantidad de movimiento relativista.

E = ^mc2

p = $\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

⇒ $p^2c^2=\frac{m_0^2v^2c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\=\frac{m_0^2\frac{v^2}{c^2}c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\= \frac{m_0^2c^4[\frac{v^2}{c^2}-1]}{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{m_0^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}} \\=-m_0^2c^4+(mc^2)^2 \\⇒E=\sqrt{p^2c^2+(m_0c^2)^2}$

Por lo tanto probado.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el momento de una partícula de masa 2 × 10 ^-9 kg con 400 KJ de energía.

Solución:

Dado: E = 400 KJ y m ₀ = 2 × 10 ^-9 kg

La fórmula para la relación energía-momento es

$E=\sqrt{p^2c^2+(m_0c^2)^2}$

Sustituyendo los valores en la fórmula que tenemos,

$400 = \sqrt{p^2c^2+(2 × 10^{-9}c^2)^2}$

p = 119070.4 × 10 ⁸ kg .m/s

Pregunta 2: Encuentra la velocidad de un protón que tiene un momento de 3 × 10 ⁻⁴ kg⋅m/s.

Solución:

Dado: m = 1,67 × 10 ^-27 kg y P = 3 × 10 ⁻⁴ kg⋅m/s

Ya que, $\gamma u=\frac{P}{m}\\=267843001.7m/s\\=0.6543737c \\\frac{u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=3.56c$

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

$\frac{u^2}{{1-\frac{u^2}{c^2}}}=6.44c^2$

u = 5,3 × 10 ⁸ m/s

Pregunta 3: A 12,0 V, la batería de un automóvil se evalúa para cambiar 600 amperios-hora (Ah) de carga. Determine el incremento en la masa en reposo de la batería desde completamente descargada hasta recargada, suponiendo que no ocurren reacciones químicas.

Solución:

Dado: E _batt = (Δm)c ²

$Δm = \frac{E_{batt}}{c^2}\\=\frac{qV}{c^2}\\=\frac{(It)}{Vc^2}.$

⇒ $Δm=\frac{(600A⋅h)(12.0V)}{(3.00×108)^2}.$

El tiempo debe convertirse en horas. De este modo,

$Δm=\frac{(600C/s⋅h)(3600s1h)(12.0J/C)}{(3.00×108m/s)^2}\\=2.88×10^{−10}kg.$

Pregunta 4: Encuentra la velocidad de un protón que tiene un momento de 4,48 × 10 ⁻¹⁹ kg⋅m/s.

Solución:

Dado: m = 1,67 × 10 ^-27 kg y P = 4,48 × 10 ⁻¹⁹ kg⋅m/s

Ya que, $\gamma u=\frac{P}{m}\\=267843001.7m/s\\=0.8928100057c \\\frac{u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=11.1233c$

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

$\frac{u^2}{{1-\frac{u^2}{c^2}}}=123.7279c^2$

⇒ u = 0.665996204c

o bien, u = 1,997988 x 10 ⁸ m/s

Pregunta 5: ¿Un objeto con cantidad de movimiento siempre tiene energía? ¿También es cierto lo contrario? Explique.

Solución:

Sí, un objeto con impulso siempre tiene energía. Si el objeto tiene cantidad de movimiento (mv) debe estar en movimiento, y si se está moviendo, tiene energía cinética.

No, un objeto con energía NO siempre tiene impulso. Un objeto puede estar en reposo y tener energía potencial (un libro sobre un escritorio, por ejemplo). Dado que la velocidad de este objeto = 0, su impulso es cero.

Pregunta 6: Encuentra la velocidad de un electrón que tiene un momento de 3,04 × 10 ⁻²¹ kg⋅m/s.

Solución:

Dado: m = 9,11 × 10 ^-31 kg y P = 4,48 × 10 ⁻¹⁹ kg⋅m/s

Ya que, $\gamma u=\frac{P}{m}\\=3.33699\times10^6m/s\\=11.1233c \\\frac{u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=11.1233c$

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

$\frac{u^2}{{1-\frac{u^2}{c^2}}}=123.7279c^2 \\or, u = 0.996c$

Pregunta 7: Encuentra la velocidad de un electrón que tiene un momento de 5 × 10 ⁻¹⁹ kg⋅m/s.

Solución:

Dado: m = 9,11 × 10 ^-31 kg y P = 5 × 10 ⁻¹⁹ kg⋅m/s

Ya que, $\gamma u=\frac{P}{m}\\=3.33699\times10^6m/s\\=11.1233c \\\frac{u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=3.433c$

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos:

$\frac{u^2}{{1-\frac{u^2}{c^2}}}=9.855c^2 \\or, u = 444.6c$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kamaljeet69420 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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