Un paralelogramo se define como un cuadrilátero que tiene pares iguales de lados y ángulos opuestos. Uno de sus pares de lados opuestos es paralelo entre sí. Los ángulos interiores se encuentran en la naturaleza suplementaria, es decir, su suma es de 180 grados. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan, es decir, se dividen en dos partes iguales. La suma de todos los ángulos interiores de un paralelogramo es 360 grados.
La figura anterior representa un paralelogramo ABCD con lados AB, BC, CD y AD y diagonales AC y BD. Aquí las longitudes de los lados opuestos AB y CD son iguales entre sí. De manera similar, las longitudes de BC y AD son las mismas. Los pares de ángulos opuestos, es decir, ∠A y ∠C y ∠B y ∠D son iguales entre sí.
Fórmula de la diagonal del paralelogramo
La fórmula para la longitud de una diagonal de un paralelogramo es igual a la magnitud de la resultante de dos lados adyacentes cualesquiera.
x = √(a 2 + b 2 – 2ab cos A) = √(a 2 + b 2 + 2ab cos B)
y = √(a 2 + b 2 + 2ab cos A) = √(a 2 + b 2 – 2ab cos B)
dónde,
x e y son las longitudes de las diagonales,
a y b son longitudes de lados adyacentes,
A y B son los ángulos formados entre los lados.
Las longitudes de las diagonales y los lados de un paralelogramo tienen una relación entre sí. La suma de los cuadrados de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes.
x 2 + y 2 = 2 (un 2 + segundo 2 )
dónde,
x e y son longitudes diagonales,
a y b son longitudes de lados adyacentes.
Problemas de muestra
Problema 1. Calcular la longitud de las diagonales de un paralelogramo de lado 5 my 10 m, si uno de los ángulos interiores es de 60°.
Solución:
Tenemos,
un = 5
b = 10
∠A = 60°
∠B = 120°
Tenemos que encontrar las longitudes de las diagonales x e y.
Usando la fórmula que obtenemos,
x = √(a 2 + b 2 – 2ab cos A)
= √(5 2 + 10 2 – 2 (5) (10) cos 60°)
= √75
= 8,66 metros
y = √(a 2 + b 2 + 2ab cos A)
= √(5 2 + 10 2 + 2 (5) (10) cos 60°)
= √175
= 13,22 metros
Problema 2. Calcular la longitud de las diagonales de un paralelogramo de lado 4 my 7 m, si uno de los ángulos interiores es de 30°.
Solución:
Tenemos,
un = 4
b = 7
∠A = 30°
Tenemos que encontrar las longitudes de las diagonales x e y.
Usando la fórmula que obtenemos,
x = √(a 2 + b 2 – 2ab cos A)
= √(4 2 + 7 2 – 2 (4) (7) cos 30°)
= √16.48
= 4,06 metros
y = √(a 2 + b 2 + 2ab cos A)
= √(4 2 + 7 2 + 2 (4) (7) cos 30°)
= √73.63
= 8,5 metros
Problema 3. Calcular la longitud de una de las diagonales de un paralelogramo de lado 5 my 9 m, si uno de los ángulos interiores es de 25°.
Solución:
Tenemos,
un = 5
b = 9
∠A = 25°
Tenemos que encontrar la longitud de la diagonal.
Usando la fórmula que obtenemos,
x = √(a 2 + b 2 – 2ab cos A)
= √(5 2 + 9 2 – 2 (5) (9) cos 25°)
= √24.40
= 4,06 metros
Problema 4. Calcular la longitud de una de las diagonales de un paralelogramo de lado 12 my 16 m, si uno de los ángulos interiores es de 37°.
Solución:
Tenemos,
un = 12
b = 16
∠A = 37°
Tenemos que encontrar la longitud de la diagonal.
Usando la fórmula que obtenemos,
x = √(a 2 + b 2 – 2ab cos A)
= √(12 2 + 16 2 – 2 (12) (16) cos 37°)
= √93.315
= 9,66 metros
Problema 5. Calcular la longitud de una de las diagonales de un paralelogramo de lado 4 my 6 m, si la otra diagonal mide 8 m.
Solución:
Tenemos,
un = 4
b = 6
x = 8
Usando la fórmula que obtenemos,
x 2 + y 2 = 2 (un 2 + segundo 2 )
=> 8 2 + y 2 = 2 (4 2 + 6 2 )
=> 64 + y 2 = 2 (16 + 36)
=> 64 + y2 = 104
=> y2 = 40
=> y = 6,32 m
Problema 6. Calcular la longitud de una de las diagonales de un paralelogramo de lado 8 my 12 m, si la otra diagonal mide 14 m.
Solución:
Tenemos,
un = 8
b = 12
x = 14
Usando la fórmula que obtenemos,
x 2 + y 2 = 2 (un 2 + segundo 2 )
=> 14 2 + y 2 = 2 (8 2 + 12 2 )
=> 196 + y 2 = 2 (16 + 144)
=> 196 + y2 = 320
=> y2 = 124
=> y = 11,13 m
Problema 7. Calcular la longitud de una de las diagonales de un paralelogramo de lado 7 my 9 m, si la otra diagonal mide 11 m.
Solución:
Tenemos,
un = 7
b = 9
X = 11
Usando la fórmula que obtenemos,
x 2 + y 2 = 2 (un 2 + segundo 2 )
=> 11 2 + y 2 = 2 (7 2 + 9 2 )
=> 121 + y 2 = 2 (49 + 81)
=> 121 + y2 = 260
=> y2 = 139
=> y = 11,78 m