Fórmula de la regla de Simpson

Una forma de encontrar el área de cualquier figura es integrando la función de esa curva dentro de los límites requeridos que dan el área bajo esa curva. Sin embargo, existe un problema con este enfoque ya que en algunos casos la integral de la función no se puede calcular o es difícil de encontrar. También se debe tener en cuenta que, en muchas situaciones de ingeniería de la vida real, puede ser suficiente encontrar un valor aproximado del área. Aquí es donde entra en juego la fórmula de Simpson.

El área bajo la curva

Fórmula de la regla de Simpson

La fórmula de la regla de Simpson es una fórmula matemática dada por el matemático británico Thomas Simpson que se utiliza para aproximar el valor de una integral definida. La regla establece que:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ ≈ S _norte

Donde _Sn = $\frac{\Delta}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]$ .

Aquí $\Delta=b-a$ , a=x ₀ y b = x _n , $\Delta=\frac{b-a}{n}$ , n = cualquier número entero par.

Derivación de la fórmula de la regla de Simpson

Para una mejor comprensión de cómo la fórmula de Simpson ayuda a aproximar el área, obtengamos la fórmula real. Considere una función y = f(x) que es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Vamos a aproximar el valor de la integral $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ dividiendo el área bajo la curva en parábolas. Para ello divida el intervalo [a,b] en subintervalos [x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], [x ₂ , x ₃ ],…,[x _n-2 , x _{n- 1} ], [x _n-1 , x _n ] cada uno de ancho $\Delta$ . Aquí x ₀ = a y x _n= segundo Ahora para encontrar el área supongamos que una parábola pasa por cada tres puntos consecutivos de la curva, es decir, hay una parábola que pasa por los puntos (x ₀ , f(x ₀ )), (x ₁ , f(x ₁ )) , (x2 _, f(x2 ₎ ).

Parábola que pasa por tres puntos sacados de la curva

A continuación, hacemos esta parábola simétrica a lo largo del eje y. Supongamos que la ecuación de esta parábola es px ² + qx + r.

Parábola hecha simétrica a lo largo del eje y

Ahora el área de x ₀ a x ₂ se puede encontrar mediante la integral definida $\int_{-\Delta}^{\Delta}$ (px ² + qx + r)dx.

$\int_{-\Delta}^{\Delta} (px^2 +qx+r)dx = \frac{px^3}{3}+\frac{qx^2}{2} +rx |^{\Delta}_{-\Delta}$ .

= $2p\frac{\Delta^3}{3}$ +0 +2r $\Delta$ .

= $\frac{\Delta}{3}[2p{\Delta}^2 +6r]$ ⇢ (1)

Además, f(x ₀ ) = $p(\Delta)^2 -q(\Delta) +r$ .

f(x ₁ ) = r [ya que x ₁ = 0]

f(x2 ) ₌ $p(\Delta)^2 +q(\Delta) +r$ .

ahora $f(x_0) +4f(x_1) +f(x_2) = [2p{\Delta}^2 +6r]$ _ ⇢ (2)

Compara (1) y (2),

$\int_{-\Delta}^{\Delta} (px^2 +qx+r)dx = f(x_0) +4f(x_1) +f(x_2)$

Esto significa que, Área entre x₀ y x₂ = f(x ₀ )+4f(x ₁ )+f(x ₂ )

De manera similar podemos encontrar el área entre los puntos x ₂ y x ₄ . = $\Delta/3 (f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄))$ .

Ahora podemos calcular las otras áreas de manera similar.

$\frac{\Delta}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)].$

Límite de error en la regla de Simpson

Como se mencionó anteriormente, la regla de Simpson es útil solo para encontrar el valor aproximado de la integral. siempre hay un límite de error en el cálculo que viene dado por

$\frac{M(b-a)^5}{180n^4}$

Aquí M>|f ⁴ (x)|

Ejemplos de problemas

Pregunta 1: Encuentra la integral $\int_{0}^{4} x^4 dx$ para n = 4 .

Solución:

Aquí f(x) = x ⁴ , a = 0, b = 4 y n = 4, $\Delta=1$ .

Por la fórmula de Simpson, $\int_{0}^{4} x^4dx =\frac{\Delta}{3}[0^4+4(1^4)+2(2^4)+4(3^4)+(4^4)]$ .

= (1 + 4 + 32 + 324 + 256)/3 = 205,66

Nota: Esta solución proporcionada por la fórmula de Simpson es solo una aproximación, el valor real de la integral será 204.8. En ejemplos posteriores, veremos cómo esta regla es útil para encontrar la integral definida de funciones cuya integral no podemos encontrar.

Pregunta 2: Encuentra la integral $\int_{0}^{π} cosx dx$ para n = 4

Solución:

Aquí f(x) = cos xa = 0, b = π, n = 4 y $\Delta =π/4$ .

Por la fórmula de Simpson $\int_{0}^{π}cos(x)dx =\frac{\Delta}{3}[cos(0)+4cos(π/4)+2cos(π/2)+4cos(3π/4)+cos(π)]$ .

= 0/3 = 0.

Pregunta 3: Resuelve la integral $\int_{0}^{2} e^{x^3} dx$ para n = 2.

Solución:

Aquí f(x)= $e^{x^3}$ , a = 0, b = 2, n = 2 y $\Delta$ = 2 – 0/2 = 1.

Usando la fórmula de Simpson $\int_{0}^{2}e^{x^3} dx= \frac{\Delta}{3}[e^{0^3}+4e^{1^3}+e^{2^3}]$ .

= $\frac{[e^0+4e^1+e^8]}{3}$ .

= 2988,6762/3 = 995,8920

Nota: La integral indefinida de la función, en este caso, no se puede encontrar. Sin embargo, podríamos haber usado el método del límite de sumas para encontrar la integral, pero dado que requiere muchos más cálculos, se prefiere la fórmula de Simpson.

Pregunta 4: Resuelve la integral $\int_{e^2}^{2e^2} lnx dx$ donde n = 4.

Solución:

Aquí f(x) = ln x, a= e ² , b = 2e ² , n = 4 y ^{\Delta= \frac{e^2}{4}.}

Aplicando la fórmula de Simpson $\int_{e^2}^{2e^2}ln x dx =\frac{\Delta}{3}[ln(e^2)+4ln(\frac{5}{4}e^2)+2ln(\frac{3}{2}e^2)+4ln(\frac{7}{4}e^2)+ln(2e^2)]$ .

= $\frac{e^2}{12}$ [2 + 4ln5 – 4ln4 + 8 + 2ln3 – 2ln2 + 4 + 4ln7 – 4ln4 + 8 + 2ln2 + 4].

= 15,3159106.

Pregunta 5: Encuentra la integral $\int_{0}^{π} sin^2 x dx$ donde n = 4.

Solución:

Aquí f(x) = sen ² x, a = 0, b = π, n = 4 y $\Delta$ = π/4.

Usando la fórmula de Simpson $\int_{0}^{π}sin^2(x)dx=\frac{π/4}{3}[sin^2(0)+ 4sin^2(π/4)+ 2sin^2(π/2)+ 4sin^2(3π/4) +sin^2(π)]$ .

= π/12[2 + 2 + 2]

= π/2

Pregunta 6: Integre la función x cos x entre los límites 0 $\frac{\pi}{2}$ usando la regla de Simpson y verifique la precisión calculando la integral real. (Tome n = 4).

Solución:

Necesitamos encontrar la integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x cos x dx$ .

Usando la fórmula de Simpson para n = 4.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x cos(x)dx=\frac{π/8}{3}[0 \times cos(0)+ 4 \times \frac{\pi}{8} cos(π/8)+ 2 \times \frac{\pi}{4}(π/4)+ 4 \times \frac{3 \pi}{8} cos(3π/8) +\frac{\pi}{2}cos(π/2)]$ .

= 0,89

Ahora

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x cosx = x sinx +cosx$ .

$xsinx +cosx |_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ .

= $\frac{\pi}{2}$ – 1 = 0,57 .

Entonces, la diferencia entre el valor de Simpson y el valor real de la integral = 0,89-0,57 = 0,32.

Pregunta 7: Dada una función f(x) = x cos (x), compruebe la precisión de la fórmula de la regla de Simpson para n = 2 y n = 4 dentro de los límites 0 y π/2.

Solución:

Comprobemos el valor de la integral usando la fórmula de Simpson para n = 4

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x cos(x)dx=\frac{π/8}{3}[0 \times cos(0)+ 4 \times \frac{\pi}{8} cos(π/8)+ 2 \times \frac{\pi}{4}(π/4)+ 4 \times \frac{3 \pi}{8} cos(3π/8) +\frac{\pi}{2}cos(π/2)]$ .

= 0,8879

Ahora apliquemos la regla de Simpson sobre la misma integral pero esta vez para n=2

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x cos(x)dx=\frac{π/4}{3}[0 \times cos(0)+ 4 \times \frac{\pi}{4} cos(π/4)+ \frac{\pi}{2}cos(π/2)]$ .

= $\frac {\pi}{12} [\pi \times \sqrt 2]$ .

= 0,583

Ahora el valor de la integral varía significativamente a medida que cambia el valor de n. La precisión de la regla de Simpson depende del valor de n. Esto muestra que la regla de Simpson depende del valor de n, por lo que generalmente se recomienda tomar el valor de n = 4.

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Artículo escrito por harmansahani100 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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