Fórmula de sección – División Interna y Externa | Geometría coordinada

Supongamos que un punto divide un segmento de recta en dos partes que pueden ser iguales o no, con la ayuda de la fórmula de la sección podemos encontrar ese punto si se dan las coordenadas de un segmento de recta y también podemos encontrar la razón en que el punto divide el segmento de línea dado si se dan las coordenadas de ese punto.

Cuando un punto C divide un segmento de línea AB en la razón m:n, entonces usamos la fórmula de la sección para encontrar las coordenadas de ese punto. La fórmula de sección tiene 2 tipos. Estos tipos dependen del punto C que puede estar presente entre los puntos o fuera del segmento de línea.

Los dos tipos son:

1. Fórmula de sección interna
2. Fórmula de sección externa

Fórmula de sección interna

Cuando el punto divide el segmento de línea en la proporción m: n internamente en el punto C, entonces ese punto se encuentra entre las coordenadas del segmento de línea, entonces podemos usar esta fórmula. También se le llama División Interna.

Si las coordenadas de A y B son (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente, la fórmula de la sección interna se da como:

Derivación de la fórmula

Sean A (x1, y1) y B (x2, y2) los extremos del segmento de recta dado AB y C(x, y) el punto que divide a AB en la razón m : n.

Entonces, AC/CB = m/n

Queremos encontrar las coordenadas (x, y) de C.

Ahora dibuje las perpendiculares de A, C, B paralelas a las coordenadas Y uniéndose en P, Q y R en el eje X.

Al ver el diagrama anterior,

AM = PQ = OQ – OP = (x – x1)

CN = QR = O – OQ = (x2 – x)

CM = CQ – MQ = (y – y1)

BN = BR – NR = (y2 – y)

Claramente, podemos ver que AMC y CNB son similares y, por lo tanto, sus lados son proporcionales por la regla de congruencia AA.

AC / CB = AM / CN = CM / BN

Ahora sustituyendo los valores en la relación anterior

=> m / n = [x – x1 / x2 -x] = [y – y1 / y2 – y]

=> m/n = [x – x1/x2 -x] y m/n = [y – y1/y2 – y]

Resolviendo la primera condición,

=> m(x2 – x) = n(x – x1)

=> (m + n)x = (mx2 + nx1)

=> x = (mx2 + nx1) / (m + n)

Resolviendo la primera condición,

=> m(y2 – y) = n(y – y1)

=> (m + n)y = (my2 + ny1)

=> y = (my2 + ny1) / (m + n)

Por lo tanto, las coordenadas de C (x, y) son

 { (m × x ₂ + n × x ₁ ) / (m + n ) , (m × y ₂ + n × y ₁ ) / (m + n ) }

Fórmula de sección externa

Cuando el punto que divide el segmento de línea se divide externamente en la proporción m : n se encuentra fuera del segmento de línea, es decir, cuando extendemos la línea coincide con el punto, entonces podemos usar esta fórmula. También se le llama División Externa.

Si las coordenadas de A y B son (x1,y1) y (x2,y2) respectivamente, la fórmula de la sección externa se da como

Derivación de la fórmula

Para derivar la sección interna tomamos un segmento de línea y un punto C(x, y) dentro de la línea, pero en el caso de la fórmula de la sección externa, tenemos que tomar ese punto C(x, y) fuera del segmento de línea.

Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos del segmento de recta dado AB y C(x, y) el punto que divide a AB en la razón m : n externamente.

Queremos encontrar las coordenadas (x, y) de C. Para eso, dibuja perpendiculares de A, B, C paralelas a las coordenadas Y que se unen en P, Q y R en el eje X.

Al ver el diagrama anterior,

AM = PR = O – OP = (x – x1)

BN = QR = O – OQ = (x – x2)

similar,

CM = RC – MR = (y – y1)

CN = CR – NR = (y – y2)

Claramente, podemos ver que el triángulo AMC y el triángulo BNC son similares y, por lo tanto, sus lados son proporcionales por la regla de congruencia AA

AC / BC = AM / BN = CM / CN

Ahora sustituyendo los valores en la relación anterior

=> m / n = [x – x1 / x – x2] = [y – y1 / y – y2]

=> m/n = [x – x1 / x – x2] y m/n = [y – y1 / y – y2]

Resolviendo la primera condición,

=> m(x – x2) = n(x – x1)

=> (m – n)x = (mx2 – nx1)

=> x = (mx2 – nx1) / (m – n)

Resolviendo la segunda condición,

=> m(y – y2) = n(y – y1)

=> (m – n)y = (my2 – ny1)

=> y = (my2 – ny1) / (m – n)

Por lo tanto, las coordenadas de C (x, y) son 

{ (m × x ₂ – n × x ₁ ) / (m – n) , (m × y ₂ – n × y ₁ ) / (m – n ) }

Problemas en la fórmula de la sección

Problema 1: Encontrar las coordenadas del punto C (x, y) donde divide internamente el segmento de recta que une (4, – 1) y (4, 3) en la razón 3 : 1 ? 

Solución: 

Las coordenadas dadas son A (4, -3) y B (8, 5)

Sea C (x, y) un punto que divide el segmento de recta en la razón de 3 : 1, es decir, m : n = 3 : 1 

Ahora usando la fórmula C(x, y) = { (m × x2 + n × x1) / (m + n ) , (m × y2 + n × y1) / (m + n ) } mientras C se divide internamente.

=> C(x, y) = {(3*4 + 1*4) / (3+1), (3 * 3 + 1 *(-1)) / (3+1)}

=> C(x, y) = {16/4, 8/4}

=> C(x, y) = {4, 2} 

Por lo tanto, las coordenadas son (4, 2).

Problema 2: Si un punto P(k, 7) divide el segmento de recta que une A(8, 9) y B(1, 2) en una razón m : n entonces encuentra los valores de m y n.

Solución: 

No se menciona que el punto está dividiendo el segmento de línea interna o externamente. Entonces, en ese momento consideraremos la sección interna como la predeterminada.

Las coordenadas dadas son A (8, 9) y B (1, 2)

Sea el punto dado P (k, 7) que divide al segmento de recta en la razón de m : 1

Ahora usando la fórmula de la sección, encontrando solo la coordenada x, 

=> k = (m × x2 + norte × x1) / (m + norte)

=> k = (metro × 1 + 1 × 8) / (metro +1)

=> k = (m + 8) / (m + 1)

=> km + k = m + 8 …….(1)

Nuevamente usando la fórmula de sección para la coordenada y.

=> 7 = (m × y2 + norte × y1) / (m + norte)

=> 7 = (m × 2 + 1 × 9) / (m + 1)

=> 7 = (2m + 9) / (m +1)

=> 7m + 7 = 2m +9

=> 5m = 2

=> metro = 5 / 2

Entonces la relación requerida es 5: 2

Por lo tanto, el valor de m es 5 y el valor de n es 2

Problema 3: A (4, 5) y B (7, -1) son dos puntos dados, y el punto C divide el segmento de recta AB externamente en la razón 4 : 3. Encuentra las coordenadas de C.

Solución:

Las coordenadas dadas son A (4, 5) y B (7, -1)

Sea C (x, y) un punto que divide el segmento de línea externamente en la proporción de 4: 3, es decir, m: n = 4: 3 

Ahora usando la fórmula C(x, y) = { (m × x2 – n × x1) / (m – n) , (m × y2 – n × y1) / (m – n ) } mientras C se divide internamente.

valor de x = (mx2 – nx1) / (m – n)

              => (4 * 7 – 3 * 4) / (4 – 3)

              => 16

valor de y = (my2 – ny1) / (m – n )

              => (4 * (-1) – 3 * 5) / (4 – 3)

              => -19

Por lo tanto, las coordenadas son (16, -19).

Problema 4: La recta 2x+y−4=0 divide el segmento de recta que une los puntos A(2,−2) y B(3,7). ¿Encuentra la razón del segmento de línea en el que se divide la línea?

Solución:

Las coordenadas dadas son A (2, -2) y B (3, 7).

Recta con ecuación 2x ​​+ y – 4 = 0 divide el segmento de recta en el punto C (x, y)

Supongamos que la recta dada corta el segmento de recta en la razón 1 : n.

Por fórmula de sección,

           => x = (m * x2 + n * x1) / (m + n)

           => x = (3 + 2n) / (1 + n) ………..1

Similarmente,

          => y = (m * y2 + n * y1) / (m + n)

          => y = (7 – 2n) / (1 + n) ……….2

Ahora sustituyendo las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación dada de la línea.

          => 2x + y – 4 = 0

          => 2 [(3 + 2n) / (1 + n) ] + [(7 – 2n) / (1 + n)] – 4 = 0  

          => 6 + 4n + 7 − 2n − 4(1 + n) = 0 

          =>13 + 2n − 4 − 4n = 0

          =>9 − 2n = 0

          => norte = 2 / 9

Por lo tanto, la razón en la que la línea se divide es 9 : 2. También podemos encontrar los valores de x e y sustituyendo el valor de n en la ecuación 1 y 2.

Problema 5: A(2, 7) y B(–4, –8) son coordenadas del segmento de recta AB. Hay dos puntos que trisecan el segmento. Encuentra las coordenadas de ellos.

Solución: 

Los dos puntos trisecan el segmento de línea, lo que significa que el segmento se divide en 3 partes iguales.

AS = ST = TB …………1

=> COMO / SB

=> AS / ST + TB

=> AS / (AS + AS) de la ecuación 1

=> COMO / 2 COMO

=> 1 / 2

Entonces, S divide el segmento de recta AB en la razón de 1 : 2

Ahora aplicando fórmula de sección para encontrar las coordenadas del punto S

=> x1 = (1 × (-4) + 2 × 2) / (1 + 2)

=> x1 = (-4 + 4) / 3

=> x1 = 0

De manera similar, para la coordenada y,

=> y1 = (1 × (-8) + 2 × 7) / (1 + 2)

=> y1 = (14 – 8) / 3

=> y1 = 2

También.

=> AT / TB

=> (AS + ST) / TB

=> 2 TB / TB de la ecuación 1

=> 2 / 1

Entonces, T divide el segmento de recta AB en la razón de 2 : 1

Ahora aplicando fórmula de sección para encontrar las coordenadas del punto T

=> x2 = (2 × (-4) + 1 × 2) / (2 + 1)

=> x2 = (-8 + 2) / 3

=> x2 = -2

De manera similar, para la coordenada y

=> y2 = (2 × (-8) + 1 × 7) / (2 + 1)

=> y2 = (-16 + 7) / 3

=> y2 = -3

Así, las coordenadas son:

S (x1, y1) = (0, 2)

T (x2, y2) = (-2, -3)