La secuencia de Fibonacci es una de las fórmulas más conocidas en teoría de números. En la sucesión de Fibonacci, cada número de la serie se calcula sumando los dos números anteriores. En general, los dos primeros términos de la serie de Fibonacci son 0 y 1. La secuencia de Fibonacci se conocía en la India cientos de años antes de que Leonardo Pisano Bogollo la conociera. El 23 de noviembre se celebra como el Día de Fibonacci, ya que tiene los dígitos “1, 1, 2, 3” que forman parte de la secuencia.
La sucesión de Fibonacci es la siguiente:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,….
La secuencia de Fibonacci es útil para sus operaciones en matemáticas y estadísticas avanzadas, informática, economía y naturaleza.
Serie de Fibonacci
Fórmula del número de Fibonacci
Fn = Fn – 1 + Fn -2
- F n es el término número “n”
- F n−1 es el término anterior (n−1)
- F n−2 es el término anterior a (n−2)
Cálculo de números de Fibonacci
Para calcular el quinto número de Fibonacci, suma los números de Fibonacci cuarto y tercero.
proporción áurea
Al elegir dos números de Fibonacci consecutivos (uno después del otro), su proporción es cercana a 1,618034 y se denomina proporción áurea. Se denota por “φ”. La proporción áurea generalmente se puede ver en la naturaleza, y cuando se aplica en un diseño, fomenta obras de apariencia natural que son agradables a la vista. Existen numerosas operaciones de la proporción áurea en el campo de la arquitectura. Por ejemplo, la Gran Pirámide de Egipto y la Gran Mezquita de Kairouan son muchos de los milagros arquitectónicos en los que se ha aplicado la noción de la proporción áurea.
Por ejemplo:
| X | Y | Y/X |
| 2 | 3 | 1.5 |
| 3 | 5 | 1.6666 |
| 5 | 8 | 1.6 |
| 8 | 13 | 1.625 |
| 13 | 21 | 1.6154 |
| 21 | 34 | 1.6190 |
| 34 | 55 | 1.6176 |
| 55 | 89 | 1.6181 |
| 89 | 144 | 1.6179 |
Nota: la proporción áurea se puede calcular a partir de cualquier secuencia de Fibonacci, no necesariamente tiene que comenzar con 2 y 3.
Cálculo del número de Fibonacci utilizando la proporción áurea
Cualquier número de Fibonacci se puede calcular usando esta fórmula,
x norte = (φ norte − (1−φ) norte )/√5
x n denota el número de Fibonacci a calcular
φ es la proporción áurea que es 1.618034
Por ejemplo: si desea calcular el séptimo término:
x 7 = ((1.618034) 7 -(1-1.618034) 7 )/√5
x 7 = 13.0000007
x 7 = 13 (redondeado)
El próximo número de Fibonacci también se puede calcular utilizando la proporción áurea. Multiplicar un número de Fibonacci con una proporción áurea dará el siguiente número de Fibonacci de la secuencia. Pero eso solo funciona para números mayores que 1.
Ejemplo: 13*1,618034 = 21,034442 = 21 (redondeado)
Algunos problemas basados en la proporción áurea
Pregunta 1: Calcule el noveno número de Fibonacci si la proporción áurea dada es 1.618034.
Solución:
Podemos calcular el noveno número de Fibonacci usando la fórmula:
x norte = (φ norte − (1−φ) norte )/√5
x 9 = ((1.618034) 9 -(1-1.618034) 9 )/√5
x9 = ( 76,0131604 -(-0,0131556197))/√5 = 34,0000021
× 9 = 34
Pregunta 2: encuentre el siguiente número de respuestas de Fibonacci calculado en la pregunta anterior.
Solución:
El siguiente número de Fibonacci de 34 se puede encontrar fácilmente multiplicándolo por la proporción áurea que es 1,618034.
x10 = 34×1,61803 = 55,01302
x 10 = 55 (redondeado)
Algunos problemas basados en números de Fibonacci
Pregunta 1: Si los términos 5 y 6 de una sucesión de Fibonacci son 3 y 5 respectivamente, encuentre el término 7 de la sucesión.
Solución:
Con el uso de la fórmula de la secuencia de Fibonacci, podemos calcular fácilmente el término 7 de la secuencia de Fibonacci, que es la suma de los términos 5 y 6.
séptimo término = 5to término + 6to término
= 3+5
= 8
El séptimo término de la sucesión de Fibonacci es 8.
Pregunta 2: Los primeros 4 números en la secuencia de Fibonacci se dan como 1,1,2,3.
(a) ¿Cuál es el octavo término de la sucesión de Fibonacci?
(b) ¿Cuál es el undécimo término de la sucesión de Fibonacci?
Solución:
Mediante el uso de la fórmula del número de Fibonacci, podemos calcular el resto de los números de Fibonacci como 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
(a) Por lo tanto, el octavo término será 21.
(b) El 11.º mandato será 89.
Pregunta 3: Encuentra los siguientes 3 términos para cada una de las siguientes secuencias de estilo Fibonacci.
(a) x, 4x, 5x, 9x,…
(b) 3a, 3a+b, 6a+b, 9a+2b….
Solución:
Con el uso de la fórmula de la Secuencia de Fibonacci, podemos calcular fácilmente el resto de los términos
(a) Quinto término = 5x+9x = 14x,
Sexto término = 9x+14x = 23x,
Séptimo término = 14x+23x = 37x
(b) Quinto término = 6a+b+9a+2b = 15a+3b,
Sexto término = 9a+2b+15a+3b = 24a+5b,
Séptimo término = 15a+3b+24a+5b = 39a+8b
Pregunta 4: John quiere generar una serie de Fibonacci con el primer término como 3 y el segundo término como 4.
(a) Encuentre los términos tercero y cuarto.
(b) Piensa que la suma de los diez primeros términos es igual a once veces el séptimo término de su sucesión. Comprueba si está en lo correcto.
Solución:
Usando el 3 y el 4 como primer y segundo término, podemos calcular el resto de los términos simplemente sumando los dos últimos términos.
(a) Primer término = 3,
Segundo término = 4,
Tercer Término = 3+4=7,
Cuarto término = 4+7 = 11
(b) Al calcular los diez primeros términos de la serie: 3,4,7,11,18,29,47,76,123,199.
Suma de los diez primeros términos = 3+4+7+11+18+29+47+76+123+199 = 517
7mo término = 47
Once veces el séptimo término = 11*47 = 517
Como podemos ver que la suma de los diez primeros términos es igual a once veces el séptimo término de su sucesión. Por lo tanto, Juan estaba en lo correcto.
Pregunta 5: ¿Cuál es el primer número cuadrado de tres dígitos que aparece en la lista de números de Fibonacci, si los primeros 4 términos son 0,1,1,2?
Solución:
Con el uso de la fórmula de la Secuencia de Fibonacci, podemos calcular fácilmente el resto de los términos:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
Como podemos ver, el primer número de tres dígitos que es un cuadrado que aparece en la lista de números de Fibonacci es 144 (cuadrado de 12).
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por shradhaagarwal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA